Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
srgi.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
srgi.p |
⊢ + = ( +g ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
srgi.t |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
eqid |
⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
6 |
1 4 2 3 5
|
issrg |
⊢ ( 𝑅 ∈ SRing ↔ ( 𝑅 ∈ CMnd ∧ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ∧ ( ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑥 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) ) |
7 |
6
|
simp3bi |
⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ∧ ( ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑥 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
8 |
7
|
r19.21bi |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ∧ ( ( ( 0g ‘ 𝑅 ) · 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑥 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
9 |
8
|
simpld |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) |
10 |
9
|
3ad2antr1 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) |
11 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 ) |
12 |
|
rsp |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
13 |
10 11 12
|
sylc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) |
14 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 ) |
15 |
|
rsp |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) → ( 𝑧 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
16 |
13 14 15
|
sylc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) ) |
17 |
16
|
simpld |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) ) |
18 |
17
|
caovdig |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) ) |
19 |
16
|
simprd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) ) |
20 |
19
|
caovdirg |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( ( 𝑋 · 𝑍 ) + ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) |
21 |
18 20
|
jca |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 · ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑌 ) + ( 𝑋 · 𝑍 ) ) ∧ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( ( 𝑋 · 𝑍 ) + ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) |