Theorem subdir

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of Apostol p. 18. (Contributed by NM, 30-Dec-2005)

	Ref	Expression
Assertion	subdir	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subdi	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( 𝐶 · 𝐴 ) − ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
2	1	3coml	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( 𝐶 · 𝐴 ) − ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
3		subcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
4		mulcom	⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( 𝐶 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) )
5	3 4	stoic3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( 𝐶 · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) )
6		mulcom	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐴 ) )
7	6	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐴 ) )
8		mulcom	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐵 ) )
9	8	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐵 ) )
10	7 9	oveq12d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( ( 𝐶 · 𝐴 ) − ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
11	2 5 10	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )