Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elun |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
2 |
|
pm4.53 |
⊢ ( ¬ ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
3 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ∖ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
4 |
2 3
|
xchnxbir |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ∖ 𝐴 ) ↔ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
5 |
1 4
|
anbi12i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ∖ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) ) |
6 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∖ ( 𝐶 ∖ 𝐴 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ∖ 𝐴 ) ) ) |
7 |
|
elun |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) ) |
8 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) |
9 |
8
|
orbi2i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ) |
10 |
|
ordi |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ) |
11 |
|
orcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ↔ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
12 |
11
|
anbi2i |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) ) |
13 |
10 12
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) ) |
14 |
7 9 13
|
3bitri |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) ) |
15 |
5 6 14
|
3bitr4ri |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∖ ( 𝐶 ∖ 𝐴 ) ) ) |
16 |
15
|
eqriv |
⊢ ( 𝐴 ∪ ( 𝐵 ∖ 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∖ ( 𝐶 ∖ 𝐴 ) ) |