Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ssel |
⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐶 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) |
2 |
1
|
pm4.71d |
⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐶 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ) ) |
3 |
2
|
anbi1d |
⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐶 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) ) |
4 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
5 |
|
elin |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐶 ∖ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
6 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ∖ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
7 |
6
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
8 |
|
ancom |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) ) |
9 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) ) |
10 |
8 9
|
bitr4i |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
11 |
5 7 10
|
3bitri |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐶 ∖ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
12 |
3 4 11
|
3bitr4g |
⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐶 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐶 ∖ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ) ) |
13 |
12
|
eqrdv |
⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐶 → ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) = ( ( 𝐶 ∖ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ) |