Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
peano2zm |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
2 |
|
peano2z |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℤ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) + 1 ) ∈ ℤ ) |
3 |
|
peano2z |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) |
4 |
3
|
zcnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ ) |
5 |
4
|
halfcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℂ ) |
6 |
|
npcan1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℂ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) + 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) |
7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) + 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) |
8 |
7
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) + 1 ) ) |
9 |
8
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ↔ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) + 1 ) ∈ ℤ ) ) |
10 |
2 9
|
syl5ibr |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℤ → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
11 |
1 10
|
impbid2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ↔ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℤ ) ) |
12 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
13 |
|
xp1d2m1eqxm1d2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) |
15 |
14
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℤ ↔ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
16 |
11 15
|
bitrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ↔ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |