Theorem iss 5326

Description: A subclass of the identity function is the identity function restricted to its domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iss

Proof of Theorem iss

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3497	. . . . . . 7
2		vex 3112	. . . . . . . . 9
3		vex 3112	. . . . . . . . 9
4	2, 3	opeldm 5211	. . . . . . . 8
5	4	a1i 11	. . . . . . 7
6	1, 5	jcad 533	. . . . . 6
7		df-br 4453	. . . . . . . . 9
8	3	ideq 5160	. . . . . . . . 9
9	7, 8	bitr3i 251	. . . . . . . 8
10	2	eldm2 5206	. . . . . . . . . 10
11		opeq2 4218	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . 14
13	12	biimprcd 225	. . . . . . . . . . . . 13
14	9, 13	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . 12
15	1, 14	sylcom 29	. . . . . . . . . . 11
16	15	exlimdv 1724	. . . . . . . . . 10
17	10, 16	syl5bi 217	. . . . . . . . 9
18	12	imbi2d 316	. . . . . . . . 9
19	17, 18	syl5ibcom 220	. . . . . . . 8
20	9, 19	syl5bi 217	. . . . . . 7
21	20	impd 431	. . . . . 6
22	6, 21	impbid 191	. . . . 5
23	3	opelres 5284	. . . . 5
24	22, 23	syl6bbr 263	. . . 4
25	24	alrimivv 1720	. . 3
26		reli 5135	. . . . 5
27		relss 5095	. . . . 5
28	26, 27	mpi 17	. . . 4
29		relres 5306	. . . 4
30		eqrel 5097	. . . 4
31	28, 29, 30	sylancl 662	. . 3
32	25, 31	mpbird 232	. 2
33		resss 5302	. . 3
34		sseq1 3524	. . 3
35	33, 34	mpbiri 233	. 2
36	32, 35	impbii 188	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  C_wss 3475  <.cop 4035   class class class wbr 4452  cid 4795  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009

This theorem is referenced by:  funcocnv2  5845  trust  20732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-dm 5014  df-res 5016