Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2arympt.f |
|- F = ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) |-> ( ( x ` 0 ) O ( x ` 1 ) ) ) |
2 |
|
simplr |
|- ( ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) /\ x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) ) -> O : ( X X. X ) --> X ) |
3 |
|
elmapi |
|- ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> x : { 0 , 1 } --> X ) |
4 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
5 |
4
|
prid1 |
|- 0 e. { 0 , 1 } |
6 |
5
|
a1i |
|- ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> 0 e. { 0 , 1 } ) |
7 |
3 6
|
ffvelrnd |
|- ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> ( x ` 0 ) e. X ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) /\ x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) ) -> ( x ` 0 ) e. X ) |
9 |
|
1ex |
|- 1 e. _V |
10 |
9
|
prid2 |
|- 1 e. { 0 , 1 } |
11 |
10
|
a1i |
|- ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> 1 e. { 0 , 1 } ) |
12 |
3 11
|
ffvelrnd |
|- ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> ( x ` 1 ) e. X ) |
13 |
12
|
adantl |
|- ( ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) /\ x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) ) -> ( x ` 1 ) e. X ) |
14 |
2 8 13
|
fovrnd |
|- ( ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) /\ x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) ) -> ( ( x ` 0 ) O ( x ` 1 ) ) e. X ) |
15 |
14 1
|
fmptd |
|- ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) -> F : ( X ^m { 0 , 1 } ) --> X ) |
16 |
|
2aryfvalel |
|- ( X e. V -> ( F e. ( 2 -aryF X ) <-> F : ( X ^m { 0 , 1 } ) --> X ) ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) -> ( F e. ( 2 -aryF X ) <-> F : ( X ^m { 0 , 1 } ) --> X ) ) |
18 |
15 17
|
mpbird |
|- ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) -> F e. ( 2 -aryF X ) ) |