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Theorem 2arympt

Description: A binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024)

Ref Expression
Hypothesis 2arympt.f
|- F = ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) |-> ( ( x ` 0 ) O ( x ` 1 ) ) )
Assertion 2arympt
|- ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) -> F e. ( 2 -aryF X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2arympt.f
 |-  F = ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) |-> ( ( x ` 0 ) O ( x ` 1 ) ) )
2 simplr
 |-  ( ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) /\ x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) ) -> O : ( X X. X ) --> X )
3 elmapi
 |-  ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> x : { 0 , 1 } --> X )
4 c0ex
 |-  0 e. _V
5 4 prid1
 |-  0 e. { 0 , 1 }
6 5 a1i
 |-  ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> 0 e. { 0 , 1 } )
7 3 6 ffvelrnd
 |-  ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> ( x ` 0 ) e. X )
8 7 adantl
 |-  ( ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) /\ x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) ) -> ( x ` 0 ) e. X )
9 1ex
 |-  1 e. _V
10 9 prid2
 |-  1 e. { 0 , 1 }
11 10 a1i
 |-  ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> 1 e. { 0 , 1 } )
12 3 11 ffvelrnd
 |-  ( x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) -> ( x ` 1 ) e. X )
13 12 adantl
 |-  ( ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) /\ x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) ) -> ( x ` 1 ) e. X )
14 2 8 13 fovrnd
 |-  ( ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) /\ x e. ( X ^m { 0 , 1 } ) ) -> ( ( x ` 0 ) O ( x ` 1 ) ) e. X )
15 14 1 fmptd
 |-  ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) -> F : ( X ^m { 0 , 1 } ) --> X )
16 2aryfvalel
 |-  ( X e. V -> ( F e. ( 2 -aryF X ) <-> F : ( X ^m { 0 , 1 } ) --> X ) )
17 16 adantr
 |-  ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) -> ( F e. ( 2 -aryF X ) <-> F : ( X ^m { 0 , 1 } ) --> X ) )
18 15 17 mpbird
 |-  ( ( X e. V /\ O : ( X X. X ) --> X ) -> F e. ( 2 -aryF X ) )