Theorem 2eu8

Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. Curiously, we can put E! on either of the internal conjuncts but not both. We can also commute E! x E! y using 2eu7 . Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . (Contributed by NM, 20-Feb-2005) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	2eu8	|- ( E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! x E! y ( E! x ph /\ E. y ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2eu2	|- ( E! x E. y ph -> ( E! y E! x ph <-> E! y E. x ph ) )
2	1	pm5.32i	|- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E! x ph ) <-> ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) )
3		nfeu1	|- F/ x E! x ph
4	3	nfeu	|- F/ x E! y E! x ph
5	4	euan	|- ( E! x ( E! y E! x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E! x ph /\ E! x E. y ph ) )
6		ancom	|- ( ( E! x ph /\ E. y ph ) <-> ( E. y ph /\ E! x ph ) )
7	6	eubii	|- ( E! y ( E! x ph /\ E. y ph ) <-> E! y ( E. y ph /\ E! x ph ) )
8		nfe1	|- F/ y E. y ph
9	8	euan	|- ( E! y ( E. y ph /\ E! x ph ) <-> ( E. y ph /\ E! y E! x ph ) )
10		ancom	|- ( ( E. y ph /\ E! y E! x ph ) <-> ( E! y E! x ph /\ E. y ph ) )
11	7 9 10	3bitri	|- ( E! y ( E! x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E! x ph /\ E. y ph ) )
12	11	eubii	|- ( E! x E! y ( E! x ph /\ E. y ph ) <-> E! x ( E! y E! x ph /\ E. y ph ) )
13		ancom	|- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E! x ph ) <-> ( E! y E! x ph /\ E! x E. y ph ) )
14	5 12 13	3bitr4ri	|- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E! x ph ) <-> E! x E! y ( E! x ph /\ E. y ph ) )
15		2eu7	|- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) )
16	2 14 15	3bitr3ri	|- ( E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! x E! y ( E! x ph /\ E. y ph ) )