Theorem 2reu8

Description: Two equivalent expressions for double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu8 . Curiously, we can put E! on either of the internal conjuncts but not both. We can also commute E! x e. A E! y e. B using 2reu7 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017)

	Ref	Expression
Assertion	2reu8	|- ( E! x e. A E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2reu2	|- ( E! x e. A E. y e. B ph -> ( E! y e. B E! x e. A ph <-> E! y e. B E. x e. A ph ) )
2	1	pm5.32i	|- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) <-> ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) )
3		nfcv	|- F/_ x B
4		nfreu1	|- F/ x E! x e. A ph
5	3 4	nfreuw	|- F/ x E! y e. B E! x e. A ph
6	5	reuan	|- ( E! x e. A ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E! x e. A E. y e. B ph ) )
7		ancom	|- ( ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( E. y e. B ph /\ E! x e. A ph ) )
8	7	reubii	|- ( E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! y e. B ( E. y e. B ph /\ E! x e. A ph ) )
9		nfre1	|- F/ y E. y e. B ph
10	9	reuan	|- ( E! y e. B ( E. y e. B ph /\ E! x e. A ph ) <-> ( E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) )
11		ancom	|- ( ( E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) <-> ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
12	8 10 11	3bitri	|- ( E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
13	12	reubii	|- ( E! x e. A E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! x e. A ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
14		ancom	|- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) <-> ( E! y e. B E! x e. A ph /\ E! x e. A E. y e. B ph ) )
15	6 13 14	3bitr4ri	|- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E! x e. A ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
16		2reu7	|- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )
17	2 15 16	3bitr3ri	|- ( E! x e. A E! y e. B ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ph ) <-> E! x e. A E! y e. B ( E! x e. A ph /\ E. y e. B ph ) )