Theorem 2reu8

Description: Two equivalent expressions for double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu8 . Curiously, we can put E! on either of the internal conjuncts but not both. We can also commute E! x e. A E! y e. B using 2reu7 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017)

	Ref	Expression
Assertion	2reu8	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2reu2	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )
2	1	pm5.32i	⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )
3		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝐵
4		nfreu1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
5	3 4	nfreuw	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
6	5	reuan	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
7		ancom	⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )
8	7	reubii	⊢ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )
9		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑦 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑
10	9	reuan	⊢ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )
11		ancom	⊢ ( ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
12	8 10 11	3bitri	⊢ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
13	12	reubii	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
14		ancom	⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
15	6 13 14	3bitr4ri	⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
16		2reu7	⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
17	2 15 16	3bitr3ri	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )