Theorem 2reu7

Description: Two equivalent expressions for double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu7 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017)

	Ref	Expression
Assertion	2reu7	⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝐵
2		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
3	1 2	nfreuw	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
4	3	reuan	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
5		ancom	⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )
6	5	reubii	⊢ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )
7		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑦 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑
8	7	reuan	⊢ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )
9		ancom	⊢ ( ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
10	6 8 9	3bitri	⊢ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
11	10	reubii	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
12		ancom	⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )
13	4 11 12	3bitr4ri	⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ) )