Metamath Proof Explorer

Theorem 3oalem3

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses 3oalem1.1 
|- B e. CH
3oalem1.2 
|- C e. CH
3oalem1.3 
|- R e. CH
3oalem1.4 
|- S e. CH
Assertion 3oalem3 
|- ( ( B +H R ) i^i ( C +H S ) ) C_ ( B +H ( R i^i ( S +H ( ( B +H C ) i^i ( R +H S ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 3oalem1.1 
 |-  B e. CH
2 3oalem1.2 
 |-  C e. CH
3 3oalem1.3 
 |-  R e. CH
4 3oalem1.4 
 |-  S e. CH
5 1 3 chseli 
 |-  ( v e. ( B +H R ) <-> E. x e. B E. y e. R v = ( x +h y ) )
6 r2ex 
 |-  ( E. x e. B E. y e. R v = ( x +h y ) <-> E. x E. y ( ( x e. B /\ y e. R ) /\ v = ( x +h y ) ) )
7 5 6 bitri 
 |-  ( v e. ( B +H R ) <-> E. x E. y ( ( x e. B /\ y e. R ) /\ v = ( x +h y ) ) )
8 2 4 chseli 
 |-  ( v e. ( C +H S ) <-> E. z e. C E. w e. S v = ( z +h w ) )
9 r2ex 
 |-  ( E. z e. C E. w e. S v = ( z +h w ) <-> E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. S ) /\ v = ( z +h w ) ) )
10 8 9 bitri 
 |-  ( v e. ( C +H S ) <-> E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. S ) /\ v = ( z +h w ) ) )
11 7 10 anbi12i 
 |-  ( ( v e. ( B +H R ) /\ v e. ( C +H S ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. B /\ y e. R ) /\ v = ( x +h y ) ) /\ E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. S ) /\ v = ( z +h w ) ) ) )
12 elin 
 |-  ( v e. ( ( B +H R ) i^i ( C +H S ) ) <-> ( v e. ( B +H R ) /\ v e. ( C +H S ) ) )
13 4exdistrv 
 |-  ( E. x E. z E. y E. w ( ( ( x e. B /\ y e. R ) /\ v = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. S ) /\ v = ( z +h w ) ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. B /\ y e. R ) /\ v = ( x +h y ) ) /\ E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. S ) /\ v = ( z +h w ) ) ) )
14 11 12 13 3bitr4i 
 |-  ( v e. ( ( B +H R ) i^i ( C +H S ) ) <-> E. x E. z E. y E. w ( ( ( x e. B /\ y e. R ) /\ v = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. S ) /\ v = ( z +h w ) ) ) )
15 1 2 3 4 3oalem2 
 |-  ( ( ( ( x e. B /\ y e. R ) /\ v = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. S ) /\ v = ( z +h w ) ) ) -> v e. ( B +H ( R i^i ( S +H ( ( B +H C ) i^i ( R +H S ) ) ) ) ) )
16 15 exlimivv 
 |-  ( E. y E. w ( ( ( x e. B /\ y e. R ) /\ v = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. S ) /\ v = ( z +h w ) ) ) -> v e. ( B +H ( R i^i ( S +H ( ( B +H C ) i^i ( R +H S ) ) ) ) ) )
17 16 exlimivv 
 |-  ( E. x E. z E. y E. w ( ( ( x e. B /\ y e. R ) /\ v = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. S ) /\ v = ( z +h w ) ) ) -> v e. ( B +H ( R i^i ( S +H ( ( B +H C ) i^i ( R +H S ) ) ) ) ) )
18 14 17 sylbi 
 |-  ( v e. ( ( B +H R ) i^i ( C +H S ) ) -> v e. ( B +H ( R i^i ( S +H ( ( B +H C ) i^i ( R +H S ) ) ) ) ) )
19 18 ssriv 
 |-  ( ( B +H R ) i^i ( C +H S ) ) C_ ( B +H ( R i^i ( S +H ( ( B +H C ) i^i ( R +H S ) ) ) ) )