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Theorem 4ipval2

Description: Four times the inner product value ipval3 , useful for simplifying certain proofs. (Contributed by NM, 10-Apr-2007) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dipfval.1 
|- X = ( BaseSet ` U )
dipfval.2 
|- G = ( +v ` U )
dipfval.4 
|- S = ( .sOLD ` U )
dipfval.6 
|- N = ( normCV ` U )
dipfval.7 
|- P = ( .iOLD ` U )
Assertion 4ipval2 
|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( A P B ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dipfval.1 
 |-  X = ( BaseSet ` U )
2 dipfval.2 
 |-  G = ( +v ` U )
3 dipfval.4 
 |-  S = ( .sOLD ` U )
4 dipfval.6 
 |-  N = ( normCV ` U )
5 dipfval.7 
 |-  P = ( .iOLD ` U )
6 1 2 3 4 5 ipval2 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A P B ) = ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) )
7 6 oveq2d 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( A P B ) ) = ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) )
8 simp1 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> U e. NrmCVec )
9 1 2 nvgcl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
10 1 4 nvcl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G B ) e. X ) -> ( N ` ( A G B ) ) e. RR )
11 8 9 10 syl2anc 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G B ) ) e. RR )
12 11 recnd 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G B ) ) e. CC )
13 12 sqcld 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) e. CC )
14 neg1cn 
 |-  -u 1 e. CC
15 1 3 nvscl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
16 14 15 mp3an2 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
17 16 3adant2 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
18 1 2 nvgcl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X ) -> ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
19 17 18 syld3an3 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
20 1 4 nvcl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. RR )
21 8 19 20 syl2anc 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. RR )
22 21 recnd 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. CC )
23 22 sqcld 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
24 13 23 subcld 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
25 ax-icn 
 |-  _i e. CC
26 1 3 nvscl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ _i e. CC /\ B e. X ) -> ( _i S B ) e. X )
27 25 26 mp3an2 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( _i S B ) e. X )
28 27 3adant2 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i S B ) e. X )
29 1 2 nvgcl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( _i S B ) e. X ) -> ( A G ( _i S B ) ) e. X )
30 28 29 syld3an3 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( _i S B ) ) e. X )
31 1 4 nvcl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( _i S B ) ) e. X ) -> ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) e. RR )
32 8 30 31 syl2anc 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) e. RR )
33 32 recnd 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) e. CC )
34 33 sqcld 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
35 negicn 
 |-  -u _i e. CC
36 1 3 nvscl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ -u _i e. CC /\ B e. X ) -> ( -u _i S B ) e. X )
37 35 36 mp3an2 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( -u _i S B ) e. X )
38 37 3adant2 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( -u _i S B ) e. X )
39 1 2 nvgcl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( -u _i S B ) e. X ) -> ( A G ( -u _i S B ) ) e. X )
40 38 39 syld3an3 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( -u _i S B ) ) e. X )
41 1 4 nvcl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( -u _i S B ) ) e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) e. RR )
42 8 40 41 syl2anc 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) e. RR )
43 42 recnd 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) e. CC )
44 43 sqcld 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
45 34 44 subcld 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
46 mulcl 
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
47 25 45 46 sylancr 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
48 24 47 addcld 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
49 4cn 
 |-  4 e. CC
50 4ne0 
 |-  4 =/= 0
51 divcan2 
 |-  ( ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) -> ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
52 49 50 51 mp3an23 
 |-  ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC -> ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
53 48 52 syl 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
54 7 53 eqtrd 
 |-  ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( A P B ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )