Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brofs |
|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. <-> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) ) ) |
2 |
1
|
anbi1d |
|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. /\ A =/= B ) <-> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) /\ A =/= B ) ) ) |
3 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) /\ A =/= B ) -> A =/= B ) |
4 |
|
simpl1l |
|- ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) /\ A =/= B ) -> B Btwn <. A , C >. ) |
5 |
|
simpl1r |
|- ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) /\ A =/= B ) -> F Btwn <. E , G >. ) |
6 |
3 4 5
|
3jca |
|- ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) /\ A =/= B ) -> ( A =/= B /\ B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) ) |
7 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) /\ A =/= B ) -> ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) ) |
8 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) /\ A =/= B ) -> ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) |
9 |
6 7 8
|
3jca |
|- ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) /\ A =/= B ) -> ( ( A =/= B /\ B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) ) |
10 |
2 9
|
syl6bi |
|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. /\ A =/= B ) -> ( ( A =/= B /\ B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) ) ) |
11 |
|
ax5seg |
|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( A =/= B /\ B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , B >. Cgr <. E , F >. /\ <. B , C >. Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >. Cgr <. E , H >. /\ <. B , D >. Cgr <. F , H >. ) ) -> <. C , D >. Cgr <. G , H >. ) ) |
12 |
10 11
|
syld |
|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. /\ A =/= B ) -> <. C , D >. Cgr <. G , H >. ) ) |