Theorem aaan

Description: Distribute universal quantifiers. (Contributed by NM, 12-Aug-1993) Avoid ax-10 . (Revised by Gino Giotto, 21-Nov-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	aaan.1	|- F/ y ph
	aaan.2	|- F/ x ps
Assertion	aaan	|- ( A. x A. y ( ph /\ ps ) <-> ( A. x ph /\ A. y ps ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaan.1	|- F/ y ph
2		aaan.2	|- F/ x ps
3		19.26-2	|- ( A. x A. y ( ph /\ ps ) <-> ( A. x A. y ph /\ A. x A. y ps ) )
4	1	19.3	|- ( A. y ph <-> ph )
5	4	albii	|- ( A. x A. y ph <-> A. x ph )
6		alcom	|- ( A. x A. y ps <-> A. y A. x ps )
7	2	19.3	|- ( A. x ps <-> ps )
8	7	albii	|- ( A. y A. x ps <-> A. y ps )
9	6 8	bitri	|- ( A. x A. y ps <-> A. y ps )
10	5 9	anbi12i	|- ( ( A. x A. y ph /\ A. x A. y ps ) <-> ( A. x ph /\ A. y ps ) )
11	3 10	bitri	|- ( A. x A. y ( ph /\ ps ) <-> ( A. x ph /\ A. y ps ) )