Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
2 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
3 |
1 2
|
ablcom |
|- ( ( G e. Abel /\ y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) ) |
4 |
3
|
3expb |
|- ( ( G e. Abel /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) ) |
5 |
4
|
eleq1d |
|- ( ( G e. Abel /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) ) |
6 |
5
|
ralrimivva |
|- ( G e. Abel -> A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) ) |
7 |
1 2
|
isnsg |
|- ( x e. ( NrmSGrp ` G ) <-> ( x e. ( SubGrp ` G ) /\ A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) ) ) |
8 |
7
|
rbaib |
|- ( A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) -> ( x e. ( NrmSGrp ` G ) <-> x e. ( SubGrp ` G ) ) ) |
9 |
6 8
|
syl |
|- ( G e. Abel -> ( x e. ( NrmSGrp ` G ) <-> x e. ( SubGrp ` G ) ) ) |
10 |
9
|
eqrdv |
|- ( G e. Abel -> ( NrmSGrp ` G ) = ( SubGrp ` G ) ) |