Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isnsg.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
isnsg.2 |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
df-nsg |
|- NrmSGrp = ( g e. Grp |-> { s e. ( SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } ) |
4 |
3
|
mptrcl |
|- ( S e. ( NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp ) |
5 |
|
subgrcl |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) -> G e. Grp ) |
7 |
|
fveq2 |
|- ( g = G -> ( SubGrp ` g ) = ( SubGrp ` G ) ) |
8 |
|
fvexd |
|- ( g = G -> ( Base ` g ) e. _V ) |
9 |
|
fveq2 |
|- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) ) |
10 |
9 1
|
eqtr4di |
|- ( g = G -> ( Base ` g ) = X ) |
11 |
|
fvexd |
|- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) e. _V ) |
12 |
|
simpl |
|- ( ( g = G /\ b = X ) -> g = G ) |
13 |
12
|
fveq2d |
|- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = ( +g ` G ) ) |
14 |
13 2
|
eqtr4di |
|- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = .+ ) |
15 |
|
simplr |
|- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> b = X ) |
16 |
|
simpr |
|- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> p = .+ ) |
17 |
16
|
oveqd |
|- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) ) |
18 |
17
|
eleq1d |
|- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( x p y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. s ) ) |
19 |
16
|
oveqd |
|- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( y p x ) = ( y .+ x ) ) |
20 |
19
|
eleq1d |
|- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( y p x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) |
21 |
18 20
|
bibi12d |
|- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) ) |
22 |
15 21
|
raleqbidv |
|- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) ) |
23 |
15 22
|
raleqbidv |
|- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) ) |
24 |
11 14 23
|
sbcied2 |
|- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) ) |
25 |
8 10 24
|
sbcied2 |
|- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) ) |
26 |
7 25
|
rabeqbidv |
|- ( g = G -> { s e. ( SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } = { s e. ( SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } ) |
27 |
|
fvex |
|- ( SubGrp ` G ) e. _V |
28 |
27
|
rabex |
|- { s e. ( SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } e. _V |
29 |
26 3 28
|
fvmpt |
|- ( G e. Grp -> ( NrmSGrp ` G ) = { s e. ( SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } ) |
30 |
29
|
eleq2d |
|- ( G e. Grp -> ( S e. ( NrmSGrp ` G ) <-> S e. { s e. ( SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } ) ) |
31 |
|
eleq2 |
|- ( s = S -> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. S ) ) |
32 |
|
eleq2 |
|- ( s = S -> ( ( y .+ x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. S ) ) |
33 |
31 32
|
bibi12d |
|- ( s = S -> ( ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) |
34 |
33
|
2ralbidv |
|- ( s = S -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) |
35 |
34
|
elrab |
|- ( S e. { s e. ( SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } <-> ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) |
36 |
30 35
|
bitrdi |
|- ( G e. Grp -> ( S e. ( NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) ) |
37 |
4 6 36
|
pm5.21nii |
|- ( S e. ( NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) |