Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fveq2 |
|- ( x = 0 -> ( Ack ` x ) = ( Ack ` 0 ) ) |
2 |
1
|
feq1d |
|- ( x = 0 -> ( ( Ack ` x ) : NN0 --> NN0 <-> ( Ack ` 0 ) : NN0 --> NN0 ) ) |
3 |
|
fveq2 |
|- ( x = y -> ( Ack ` x ) = ( Ack ` y ) ) |
4 |
3
|
feq1d |
|- ( x = y -> ( ( Ack ` x ) : NN0 --> NN0 <-> ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) ) |
5 |
|
fveq2 |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( Ack ` x ) = ( Ack ` ( y + 1 ) ) ) |
6 |
5
|
feq1d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( Ack ` x ) : NN0 --> NN0 <-> ( Ack ` ( y + 1 ) ) : NN0 --> NN0 ) ) |
7 |
|
fveq2 |
|- ( x = M -> ( Ack ` x ) = ( Ack ` M ) ) |
8 |
7
|
feq1d |
|- ( x = M -> ( ( Ack ` x ) : NN0 --> NN0 <-> ( Ack ` M ) : NN0 --> NN0 ) ) |
9 |
|
ackval0 |
|- ( Ack ` 0 ) = ( n e. NN0 |-> ( n + 1 ) ) |
10 |
|
peano2nn0 |
|- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 ) |
11 |
9 10
|
fmpti |
|- ( Ack ` 0 ) : NN0 --> NN0 |
12 |
|
nn0ex |
|- NN0 e. _V |
13 |
12
|
a1i |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> NN0 e. _V ) |
14 |
|
simplr |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) |
15 |
10
|
adantl |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( n + 1 ) e. NN0 ) |
16 |
13 14 15
|
itcovalendof |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) : NN0 --> NN0 ) |
17 |
|
1nn0 |
|- 1 e. NN0 |
18 |
|
ffvelrn |
|- ( ( ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) : NN0 --> NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) ` 1 ) e. NN0 ) |
19 |
16 17 18
|
sylancl |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) ` 1 ) e. NN0 ) |
20 |
|
eqid |
|- ( n e. NN0 |-> ( ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) ` 1 ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) ` 1 ) ) |
21 |
19 20
|
fmptd |
|- ( ( y e. NN0 /\ ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) ` 1 ) ) : NN0 --> NN0 ) |
22 |
|
ackvalsuc1mpt |
|- ( y e. NN0 -> ( Ack ` ( y + 1 ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) ` 1 ) ) ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( y e. NN0 /\ ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) -> ( Ack ` ( y + 1 ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) ` 1 ) ) ) |
24 |
23
|
feq1d |
|- ( ( y e. NN0 /\ ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) -> ( ( Ack ` ( y + 1 ) ) : NN0 --> NN0 <-> ( n e. NN0 |-> ( ( ( IterComp ` ( Ack ` y ) ) ` ( n + 1 ) ) ` 1 ) ) : NN0 --> NN0 ) ) |
25 |
21 24
|
mpbird |
|- ( ( y e. NN0 /\ ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 ) -> ( Ack ` ( y + 1 ) ) : NN0 --> NN0 ) |
26 |
25
|
ex |
|- ( y e. NN0 -> ( ( Ack ` y ) : NN0 --> NN0 -> ( Ack ` ( y + 1 ) ) : NN0 --> NN0 ) ) |
27 |
2 4 6 8 11 26
|
nn0ind |
|- ( M e. NN0 -> ( Ack ` M ) : NN0 --> NN0 ) |