Theorem addsproplem3

Description: Lemma for surreal addition properties. Show the cut properties of surreal addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	addsproplem.1	|- ( ph -> A. x e. No A. y e. No A. z e. No ( ( ( ( bday ` x ) +no ( bday ` y ) ) u. ( ( bday ` x ) +no ( bday ` z ) ) ) e. ( ( ( bday ` X ) +no ( bday ` Y ) ) u. ( ( bday ` X ) +no ( bday ` Z ) ) ) -> ( ( x +s y ) e. No /\ ( y ( y +s x )
	addsproplem2.2	|- ( ph -> X e. No )
	addsproplem2.3	|- ( ph -> Y e. No )
Assertion	addsproplem3	|- ( ph -> ( ( X +s Y ) e. No /\ ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) <

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsproplem.1	|- ( ph -> A. x e. No A. y e. No A. z e. No ( ( ( ( bday ` x ) +no ( bday ` y ) ) u. ( ( bday ` x ) +no ( bday ` z ) ) ) e. ( ( ( bday ` X ) +no ( bday ` Y ) ) u. ( ( bday ` X ) +no ( bday ` Z ) ) ) -> ( ( x +s y ) e. No /\ ( y ( y +s x )
2		addsproplem2.2	|- ( ph -> X e. No )
3		addsproplem2.3	|- ( ph -> Y e. No )
4	1 2 3	addsproplem2	|- ( ph -> ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) <
5		scutcut	|- ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) < ( ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) |s ( { w | E. r e. ( _Right ` X ) w = ( r +s Y ) } u. { t | E. s e. ( _Right ` Y ) t = ( X +s s ) } ) ) e. No /\ ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) <
6	4 5	syl	|- ( ph -> ( ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) |s ( { w | E. r e. ( _Right ` X ) w = ( r +s Y ) } u. { t | E. s e. ( _Right ` Y ) t = ( X +s s ) } ) ) e. No /\ ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) <
7		addsval2	|- ( ( X e. No /\ Y e. No ) -> ( X +s Y ) = ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) |s ( { w | E. r e. ( _Right ` X ) w = ( r +s Y ) } u. { t | E. s e. ( _Right ` Y ) t = ( X +s s ) } ) ) )
8	2 3 7	syl2anc	|- ( ph -> ( X +s Y ) = ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) |s ( { w | E. r e. ( _Right ` X ) w = ( r +s Y ) } u. { t | E. s e. ( _Right ` Y ) t = ( X +s s ) } ) ) )
9	8	eleq1d	|- ( ph -> ( ( X +s Y ) e. No <-> ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) |s ( { w | E. r e. ( _Right ` X ) w = ( r +s Y ) } u. { t | E. s e. ( _Right ` Y ) t = ( X +s s ) } ) ) e. No ) )
10	8	sneqd	|- ( ph -> { ( X +s Y ) } = { ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) |s ( { w | E. r e. ( _Right ` X ) w = ( r +s Y ) } u. { t | E. s e. ( _Right ` Y ) t = ( X +s s ) } ) ) } )
11	10	breq2d	|- ( ph -> ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) < ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) <
12	10	breq1d	|- ( ph -> ( { ( X +s Y ) } < { ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) |s ( { w | E. r e. ( _Right ` X ) w = ( r +s Y ) } u. { t | E. s e. ( _Right ` Y ) t = ( X +s s ) } ) ) } <
13	9 11 12	3anbi123d	|- ( ph -> ( ( ( X +s Y ) e. No /\ ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) < ( ( ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) |s ( { w | E. r e. ( _Right ` X ) w = ( r +s Y ) } u. { t | E. s e. ( _Right ` Y ) t = ( X +s s ) } ) ) e. No /\ ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) <
14	6 13	mpbird	|- ( ph -> ( ( X +s Y ) e. No /\ ( { p | E. l e. ( _Left ` X ) p = ( l +s Y ) } u. { q | E. m e. ( _Left ` Y ) q = ( X +s m ) } ) <