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Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
`|- ( ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) -> ( adjh ` T ) = S )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
` |-  Fun adjh`
` |-  adjh = { <. z , w >. | ( z : ~H --> ~H /\ w : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( z ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) ) }`
3 2 eleq2i
` |-  ( <. T , S >. e. adjh <-> <. T , S >. e. { <. z , w >. | ( z : ~H --> ~H /\ w : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( z ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) ) } )`
4 ax-hilex
` |-  ~H e. _V`
5 fex
` |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ ~H e. _V ) -> T e. _V )`
6 4 5 mpan2
` |-  ( T : ~H --> ~H -> T e. _V )`
7 fex
` |-  ( ( S : ~H --> ~H /\ ~H e. _V ) -> S e. _V )`
8 4 7 mpan2
` |-  ( S : ~H --> ~H -> S e. _V )`
9 feq1
` |-  ( z = T -> ( z : ~H --> ~H <-> T : ~H --> ~H ) )`
10 fveq1
` |-  ( z = T -> ( z ` x ) = ( T ` x ) )`
11 10 oveq1d
` |-  ( z = T -> ( ( z ` x ) .ih y ) = ( ( T ` x ) .ih y ) )`
12 11 eqeq1d
` |-  ( z = T -> ( ( ( z ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) <-> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) ) )`
13 12 2ralbidv
` |-  ( z = T -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( z ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) ) )`
14 9 13 3anbi13d
` |-  ( z = T -> ( ( z : ~H --> ~H /\ w : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( z ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) ) <-> ( T : ~H --> ~H /\ w : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) ) ) )`
15 feq1
` |-  ( w = S -> ( w : ~H --> ~H <-> S : ~H --> ~H ) )`
16 fveq1
` |-  ( w = S -> ( w ` y ) = ( S ` y ) )`
17 16 oveq2d
` |-  ( w = S -> ( x .ih ( w ` y ) ) = ( x .ih ( S ` y ) ) )`
18 17 eqeq2d
` |-  ( w = S -> ( ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) <-> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) )`
19 18 2ralbidv
` |-  ( w = S -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) )`
20 15 19 3anbi23d
` |-  ( w = S -> ( ( T : ~H --> ~H /\ w : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) ) <-> ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) ) )`
21 14 20 opelopabg
` |-  ( ( T e. _V /\ S e. _V ) -> ( <. T , S >. e. { <. z , w >. | ( z : ~H --> ~H /\ w : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( z ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) ) } <-> ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) ) )`
22 6 8 21 syl2an
` |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H ) -> ( <. T , S >. e. { <. z , w >. | ( z : ~H --> ~H /\ w : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( z ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( w ` y ) ) ) } <-> ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) ) )`
23 3 22 syl5bb
` |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H ) -> ( <. T , S >. e. adjh <-> ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) ) )`
24 df-3an
` |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) <-> ( ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H ) /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) )`
25 24 baibr
` |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H ) -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) <-> ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) ) )`
26 23 25 bitr4d
` |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H ) -> ( <. T , S >. e. adjh <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) )`
27 26 biimp3ar
` |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) -> <. T , S >. e. adjh )`
28 funopfv
` |-  ( Fun adjh -> ( <. T , S >. e. adjh -> ( adjh ` T ) = S ) )`
29 1 27 28 mpsyl
` |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( S ` y ) ) ) -> ( adjh ` T ) = S )`