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Theorem aks6d1c1p1

Description: Definition of the introspective relation. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025)

Ref Expression
Hypotheses aks6d1c1p1.1 
|- .~ = { <. e , f >. | ( e e. NN /\ f e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( e .^ ( ( O ` f ) ` y ) ) = ( ( O ` f ) ` ( e D y ) ) ) }
aks6d1c1p1.2 
|- ( ph -> F e. B )
aks6d1c1p1.3 
|- ( ph -> E e. NN )
Assertion aks6d1c1p1 
|- ( ph -> ( E .~ F <-> A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 aks6d1c1p1.1 
 |-  .~ = { <. e , f >. | ( e e. NN /\ f e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( e .^ ( ( O ` f ) ` y ) ) = ( ( O ` f ) ` ( e D y ) ) ) }
2 aks6d1c1p1.2 
 |-  ( ph -> F e. B )
3 aks6d1c1p1.3 
 |-  ( ph -> E e. NN )
4 simpl 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> e = E )
5 4 eleq1d 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( e e. NN <-> E e. NN ) )
6 simpr 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> f = F )
7 6 eleq1d 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( f e. B <-> F e. B ) )
8 6 fveq2d 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( O ` f ) = ( O ` F ) )
9 8 fveq1d 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( ( O ` f ) ` y ) = ( ( O ` F ) ` y ) )
10 4 9 oveq12d 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( e .^ ( ( O ` f ) ` y ) ) = ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) )
11 4 oveq1d 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( e D y ) = ( E D y ) )
12 8 11 fveq12d 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( ( O ` f ) ` ( e D y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) )
13 10 12 eqeq12d 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( ( e .^ ( ( O ` f ) ` y ) ) = ( ( O ` f ) ` ( e D y ) ) <-> ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) )
14 13 ralbidv 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( A. y e. ( K PrimRoots R ) ( e .^ ( ( O ` f ) ` y ) ) = ( ( O ` f ) ` ( e D y ) ) <-> A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) )
15 5 7 14 3anbi123d 
 |-  ( ( e = E /\ f = F ) -> ( ( e e. NN /\ f e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( e .^ ( ( O ` f ) ` y ) ) = ( ( O ` f ) ` ( e D y ) ) ) <-> ( E e. NN /\ F e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) ) )
16 15 1 brabga 
 |-  ( ( E e. NN /\ F e. B ) -> ( E .~ F <-> ( E e. NN /\ F e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) ) )
17 3 2 16 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( E .~ F <-> ( E e. NN /\ F e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) ) )
18 17 biimpd 
 |-  ( ph -> ( E .~ F -> ( E e. NN /\ F e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) ) )
19 18 imp 
 |-  ( ( ph /\ E .~ F ) -> ( E e. NN /\ F e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) )
20 19 simp3d 
 |-  ( ( ph /\ E .~ F ) -> A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) )
21 20 ex 
 |-  ( ph -> ( E .~ F -> A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) )
22 3 2 jca 
 |-  ( ph -> ( E e. NN /\ F e. B ) )
23 df-3an 
 |-  ( ( E e. NN /\ F e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) <-> ( ( E e. NN /\ F e. B ) /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) )
24 23 bicomi 
 |-  ( ( ( E e. NN /\ F e. B ) /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) <-> ( E e. NN /\ F e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) )
25 24 a1i 
 |-  ( ph -> ( ( ( E e. NN /\ F e. B ) /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) <-> ( E e. NN /\ F e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) ) )
26 17 biimprd 
 |-  ( ph -> ( ( E e. NN /\ F e. B /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) -> E .~ F ) )
27 25 26 sylbid 
 |-  ( ph -> ( ( ( E e. NN /\ F e. B ) /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) -> E .~ F ) )
28 27 imp 
 |-  ( ( ph /\ ( ( E e. NN /\ F e. B ) /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) ) -> E .~ F )
29 28 anassrs 
 |-  ( ( ( ph /\ ( E e. NN /\ F e. B ) ) /\ A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) -> E .~ F )
30 29 ex 
 |-  ( ( ph /\ ( E e. NN /\ F e. B ) ) -> ( A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) -> E .~ F ) )
31 22 30 mpdan 
 |-  ( ph -> ( A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) -> E .~ F ) )
32 21 31 impbid 
 |-  ( ph -> ( E .~ F <-> A. y e. ( K PrimRoots R ) ( E .^ ( ( O ` F ) ` y ) ) = ( ( O ` F ) ` ( E D y ) ) ) )