Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
arglem1.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
2 |
|
arglem1.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
3 |
|
arglem1.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
arglem1.f |
|- F = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( S .\/ T ) ) |
5 |
|
arglem1.g |
|- G = ( ( P .\/ S ) ./\ ( Q .\/ T ) ) |
6 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> K e. HL ) |
7 |
6
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> K e. Lat ) |
8 |
|
simpl12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> P e. A ) |
9 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
10 |
9 3
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
11 |
8 10
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
12 |
|
simpl13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> Q e. A ) |
13 |
9 3
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> Q e. ( Base ` K ) ) |
15 |
|
simpl21 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> S e. A ) |
16 |
9 3
|
atbase |
|- ( S e. A -> S e. ( Base ` K ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> S e. ( Base ` K ) ) |
18 |
|
simpl22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> T e. A ) |
19 |
9 3
|
atbase |
|- ( T e. A -> T e. ( Base ` K ) ) |
20 |
18 19
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> T e. ( Base ` K ) ) |
21 |
9 1
|
latj4 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ ( S e. ( Base ` K ) /\ T e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ ( S .\/ T ) ) = ( ( P .\/ S ) .\/ ( Q .\/ T ) ) ) |
22 |
7 11 14 17 20 21
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ ( S .\/ T ) ) = ( ( P .\/ S ) .\/ ( Q .\/ T ) ) ) |
23 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> G e. A ) |
24 |
5 23
|
eqeltrrid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( ( P .\/ S ) ./\ ( Q .\/ T ) ) e. A ) |
25 |
|
simpl31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> P =/= S ) |
26 |
|
eqid |
|- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K ) |
27 |
1 3 26
|
llni2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ S e. A ) /\ P =/= S ) -> ( P .\/ S ) e. ( LLines ` K ) ) |
28 |
6 8 15 25 27
|
syl31anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( P .\/ S ) e. ( LLines ` K ) ) |
29 |
|
simpl32 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> Q =/= T ) |
30 |
1 3 26
|
llni2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ T e. A ) /\ Q =/= T ) -> ( Q .\/ T ) e. ( LLines ` K ) ) |
31 |
6 12 18 29 30
|
syl31anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( Q .\/ T ) e. ( LLines ` K ) ) |
32 |
|
eqid |
|- ( LPlanes ` K ) = ( LPlanes ` K ) |
33 |
1 2 3 26 32
|
2llnmj |
|- ( ( K e. HL /\ ( P .\/ S ) e. ( LLines ` K ) /\ ( Q .\/ T ) e. ( LLines ` K ) ) -> ( ( ( P .\/ S ) ./\ ( Q .\/ T ) ) e. A <-> ( ( P .\/ S ) .\/ ( Q .\/ T ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) ) |
34 |
6 28 31 33
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( ( ( P .\/ S ) ./\ ( Q .\/ T ) ) e. A <-> ( ( P .\/ S ) .\/ ( Q .\/ T ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) ) |
35 |
24 34
|
mpbid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( ( P .\/ S ) .\/ ( Q .\/ T ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) |
36 |
22 35
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ ( S .\/ T ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) |
37 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> P =/= Q ) |
38 |
1 3 26
|
llni2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ P =/= Q ) -> ( P .\/ Q ) e. ( LLines ` K ) ) |
39 |
6 8 12 37 38
|
syl31anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( LLines ` K ) ) |
40 |
|
simpl33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> S =/= T ) |
41 |
1 3 26
|
llni2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ S e. A /\ T e. A ) /\ S =/= T ) -> ( S .\/ T ) e. ( LLines ` K ) ) |
42 |
6 15 18 40 41
|
syl31anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( S .\/ T ) e. ( LLines ` K ) ) |
43 |
1 2 3 26 32
|
2llnmj |
|- ( ( K e. HL /\ ( P .\/ Q ) e. ( LLines ` K ) /\ ( S .\/ T ) e. ( LLines ` K ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( S .\/ T ) ) e. A <-> ( ( P .\/ Q ) .\/ ( S .\/ T ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) ) |
44 |
6 39 42 43
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( S .\/ T ) ) e. A <-> ( ( P .\/ Q ) .\/ ( S .\/ T ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) ) |
45 |
36 44
|
mpbird |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( S .\/ T ) ) e. A ) |
46 |
4 45
|
eqeltrid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ P =/= Q ) /\ ( P =/= S /\ Q =/= T /\ S =/= T ) ) /\ G e. A ) -> F e. A ) |