Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2llnmj.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
2 |
|
2llnmj.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
3 |
|
2llnmj.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
2llnmj.n |
|- N = ( LLines ` K ) |
5 |
|
2llnmj.p |
|- P = ( LPlanes ` K ) |
6 |
|
simp1 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> K e. HL ) |
7 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
8 |
7 4
|
llnbase |
|- ( X e. N -> X e. ( Base ` K ) ) |
9 |
8
|
3ad2ant2 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> X e. ( Base ` K ) ) |
10 |
7 4
|
llnbase |
|- ( Y e. N -> Y e. ( Base ` K ) ) |
11 |
10
|
3ad2ant3 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> Y e. ( Base ` K ) ) |
12 |
|
eqid |
|- ( |
13 |
7 1 2 12
|
cvrexch |
|- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ( X ( |
14 |
6 9 11 13
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( ( X ./\ Y ) ( X ( |
15 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> K e. HL ) |
16 |
|
simpr |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) e. A ) |
17 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> Y e. N ) |
18 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
19 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
20 |
7 19 2
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) |
21 |
18 8 10 20
|
syl3an |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) |
23 |
19 12 3 4
|
atcvrlln2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. A /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) ( |
24 |
15 16 17 22 23
|
syl31anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) ( |
25 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) ( Y e. N ) |
26 |
7 2
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) ) |
27 |
18 8 10 26
|
syl3an |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) ) |
28 |
6 27 11
|
3jca |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) ) |
29 |
7 12 3 4
|
atcvrlln |
|- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) ( ( ( X ./\ Y ) e. A <-> Y e. N ) ) |
30 |
28 29
|
sylan |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) ( ( ( X ./\ Y ) e. A <-> Y e. N ) ) |
31 |
25 30
|
mpbird |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) ( ( X ./\ Y ) e. A ) |
32 |
24 31
|
impbida |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A <-> ( X ./\ Y ) ( |
33 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> K e. HL ) |
34 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> X e. N ) |
35 |
|
simpr |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> ( X .\/ Y ) e. P ) |
36 |
7 19 1
|
latlej1 |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) |
37 |
18 8 10 36
|
syl3an |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) |
38 |
37
|
adantr |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) |
39 |
19 12 4 5
|
llncvrlpln2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ ( X .\/ Y ) e. P ) /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X ( |
40 |
33 34 35 38 39
|
syl31anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> X ( |
41 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ X ( X e. N ) |
42 |
7 1
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) |
43 |
18 8 10 42
|
syl3an |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) |
44 |
6 9 43
|
3jca |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) ) |
45 |
7 12 4 5
|
llncvrlpln |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ X ( ( X e. N <-> ( X .\/ Y ) e. P ) ) |
46 |
44 45
|
sylan |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ X ( ( X e. N <-> ( X .\/ Y ) e. P ) ) |
47 |
41 46
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ X ( ( X .\/ Y ) e. P ) |
48 |
40 47
|
impbida |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( ( X .\/ Y ) e. P <-> X ( |
49 |
14 32 48
|
3bitr4d |
|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A <-> ( X .\/ Y ) e. P ) ) |