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Theorem 2llnmj

Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses 2llnmj.j = ( join ‘ 𝐾 )
2llnmj.m = ( meet ‘ 𝐾 )
2llnmj.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
2llnmj.n 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
2llnmj.p 𝑃 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
Assertion 2llnmj ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2llnmj.j = ( join ‘ 𝐾 )
2 2llnmj.m = ( meet ‘ 𝐾 )
3 2llnmj.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 2llnmj.n 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
5 2llnmj.p 𝑃 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
6 simp1 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → 𝐾 ∈ HL )
7 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
8 7 4 llnbase ( 𝑋𝑁𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
9 8 3ad2ant2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
10 7 4 llnbase ( 𝑌𝑁𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11 10 3ad2ant3 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 eqid ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
13 7 1 2 12 cvrexch ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) ) )
14 6 9 11 13 syl3anc ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) ) )
15 simpl1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
16 simpr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 )
17 simpl3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 ) → 𝑌𝑁 )
18 hllat ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
19 eqid ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
20 7 19 2 latmle2 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
21 18 8 10 20 syl3an ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( 𝑋 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
22 21 adantr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
23 19 12 3 4 atcvrlln2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( 𝑋 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
24 15 16 17 22 23 syl31anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
25 simpl3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → 𝑌𝑁 )
26 7 2 latmcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 18 8 10 26 syl3an ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( 𝑋 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 6 27 11 3jca ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) )
29 7 12 3 4 atcvrlln ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑌𝑁 ) )
30 28 29 sylan ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑌𝑁 ) )
31 25 30 mpbird ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 )
32 24 31 impbida ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑋 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) )
33 simpl1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) → 𝐾 ∈ HL )
34 simpl2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) → 𝑋𝑁 )
35 simpr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 )
36 7 19 1 latlej1 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) )
37 18 8 10 36 syl3an ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) )
38 37 adantr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) )
39 19 12 4 5 llncvrlpln2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁 ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) ) → 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) )
40 33 34 35 38 39 syl31anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) → 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) )
41 simpl2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) ) → 𝑋𝑁 )
42 7 1 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 18 8 10 42 syl3an ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( 𝑋 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 6 9 43 3jca ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) )
45 7 12 4 5 llncvrlpln ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) ) → ( 𝑋𝑁 ↔ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) )
46 44 45 sylan ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) ) → ( 𝑋𝑁 ↔ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) )
47 41 46 mpbid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) ∧ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) ) → ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 )
48 40 47 impbida ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 𝑌 ) ) )
49 14 32 48 3bitr4d ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁 ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) )