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Theorem atmod3i2

Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 10-Jun-2012) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses atmod.b 
|- B = ( Base ` K )
atmod.l 
|- .<_ = ( le ` K )
atmod.j 
|- .\/ = ( join ` K )
atmod.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
atmod.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion atmod3i2 
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ ( Y ./\ P ) ) = ( Y ./\ ( X .\/ P ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 atmod.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 atmod.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 atmod.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 atmod.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 atmod.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
7 6 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> K e. Lat )
8 simp23 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> Y e. B )
9 simp22 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> X e. B )
10 simp21 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> P e. A )
11 1 5 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
12 10 11 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> P e. B )
13 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ P e. B ) -> ( X .\/ P ) e. B )
14 7 9 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ P ) e. B )
15 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ ( X .\/ P ) e. B ) -> ( Y ./\ ( X .\/ P ) ) = ( ( X .\/ P ) ./\ Y ) )
16 7 8 14 15 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( Y ./\ ( X .\/ P ) ) = ( ( X .\/ P ) ./\ Y ) )
17 1 2 3 4 5 atmod1i2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ ( P ./\ Y ) ) = ( ( X .\/ P ) ./\ Y ) )
18 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Y e. B ) -> ( P ./\ Y ) = ( Y ./\ P ) )
19 7 12 8 18 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( P ./\ Y ) = ( Y ./\ P ) )
20 19 oveq2d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ ( P ./\ Y ) ) = ( X .\/ ( Y ./\ P ) ) )
21 16 17 20 3eqtr2rd 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ ( Y ./\ P ) ) = ( Y ./\ ( X .\/ P ) ) )