Theorem bj-cbvalimt

Description: A lemma in closed form used to prove bj-cbval in a weak axiomatization. (Contributed by BJ, 12-Mar-2023) Do not use 19.35 since only the direction of the biconditional used here holds in intuitionistic logic. (Proof modification is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	bj-cbvalimt	|- ( A. y E. x ch -> ( A. y A. x ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exim	|- ( A. x ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( E. x ch -> E. x ( ph -> ps ) ) )
2	1	al2imi	|- ( A. y A. x ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. y E. x ch -> A. y E. x ( ph -> ps ) ) )
3		pm2.27	|- ( ph -> ( ( ph -> ps ) -> ps ) )
4	3	aleximi	|- ( A. x ph -> ( E. x ( ph -> ps ) -> E. x ps ) )
5	4	com12	|- ( E. x ( ph -> ps ) -> ( A. x ph -> E. x ps ) )
6	5	alimi	|- ( A. y E. x ( ph -> ps ) -> A. y ( A. x ph -> E. x ps ) )
7		alim	|- ( A. y ( A. x ph -> E. x ps ) -> ( A. y A. x ph -> A. y E. x ps ) )
8		alim	|- ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. y E. x ps -> A. y ps ) )
9		imim1	|- ( ( A. y A. x ph -> A. y E. x ps ) -> ( ( A. y E. x ps -> A. y ps ) -> ( A. y A. x ph -> A. y ps ) ) )
10		imim2	|- ( ( A. y A. x ph -> A. y ps ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) )
11	8 9 10	syl56	|- ( ( A. y A. x ph -> A. y E. x ps ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) )
12	11	com23	|- ( ( A. y A. x ph -> A. y E. x ps ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) )
13	6 7 12	3syl	|- ( A. y E. x ( ph -> ps ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) )
14	2 13	syl6com	|- ( A. y E. x ch -> ( A. y A. x ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) ) )