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Theorem bj-unexg

Description: Existence of binary unions of sets, proved from ax-bj-bun . (Contributed by BJ, 12-Jan-2025) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Assertion bj-unexg 
|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elissetv 
 |-  ( A e. V -> E. x x = A )
2 elissetv 
 |-  ( B e. W -> E. y y = B )
3 exdistrv 
 |-  ( E. x E. y ( x = A /\ y = B ) <-> ( E. x x = A /\ E. y y = B ) )
4 uneq12 
 |-  ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x u. y ) = ( A u. B ) )
5 ax-bj-bun 
 |-  A. x A. y E. z A. t ( t e. z <-> ( t e. x \/ t e. y ) )
6 5 spi 
 |-  A. y E. z A. t ( t e. z <-> ( t e. x \/ t e. y ) )
7 6 spi 
 |-  E. z A. t ( t e. z <-> ( t e. x \/ t e. y ) )
8 bj-axbun 
 |-  ( ( x u. y ) e. _V <-> E. z A. t ( t e. z <-> ( t e. x \/ t e. y ) ) )
9 7 8 mpbir 
 |-  ( x u. y ) e. _V
10 4 9 eqeltrrdi 
 |-  ( ( x = A /\ y = B ) -> ( A u. B ) e. _V )
11 10 exlimiv 
 |-  ( E. y ( x = A /\ y = B ) -> ( A u. B ) e. _V )
12 11 exlimiv 
 |-  ( E. x E. y ( x = A /\ y = B ) -> ( A u. B ) e. _V )
13 3 12 sylbir 
 |-  ( ( E. x x = A /\ E. y y = B ) -> ( A u. B ) e. _V )
14 1 2 13 syl2an 
 |-  ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )