Theorem bnj1186

Description: Technical lemma for bnj69 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypothesis	bnj1186.1	|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
Assertion	bnj1186	|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. B A. w e. B -. w R z )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1186.1	|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
2		19.21v	|- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) )
3	2	exbii	|- ( E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) <-> E. z ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) )
4	1 3	mpbi	|- E. z ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
5	4	19.37iv	|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
6		19.28v	|- ( A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) <-> ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
7	6	exbii	|- ( E. z A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) <-> E. z ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
8	5 7	sylib	|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
9		df-ral	|- ( A. w e. B -. w R z <-> A. w ( w e. B -> -. w R z ) )
10	9	anbi2i	|- ( ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) <-> ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
11	10	exbii	|- ( E. z ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) <-> E. z ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
12	8 11	sylibr	|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) )
13		df-rex	|- ( E. z e. B A. w e. B -. w R z <-> E. z ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) )
14	12 13	sylibr	|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. B A. w e. B -. w R z )