Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bnj1190.1 |
|- ( ph <-> ( R _FrSe A /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) |
2 |
|
bnj1190.2 |
|- ( ps <-> ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) ) |
3 |
1
|
simp2bi |
|- ( ph -> B C_ A ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ps ) -> B C_ A ) |
5 |
|
eqid |
|- ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) = ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) |
6 |
1
|
simp1bi |
|- ( ph -> R _FrSe A ) |
7 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ps ) -> R _FrSe A ) |
8 |
2
|
simp1bi |
|- ( ps -> x e. B ) |
9 |
|
ssel2 |
|- ( ( B C_ A /\ x e. B ) -> x e. A ) |
10 |
3 8 9
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ ps ) -> x e. A ) |
11 |
2 5 7 4 10
|
bnj1177 |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( R Fr A /\ ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) C_ A /\ ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) =/= (/) /\ ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) e. _V ) ) |
12 |
|
bnj1154 |
|- ( ( R Fr A /\ ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) C_ A /\ ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) =/= (/) /\ ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) e. _V ) -> E. u e. ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) A. v e. ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) -. v R u ) |
13 |
11 12
|
bnj1176 |
|- E. u A. v ( ( ph /\ ps ) -> ( u e. ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) /\ ( ( ( R _FrSe A /\ x e. A /\ u e. _trCl ( x , A , R ) ) /\ ( R _FrSe A /\ u e. A ) /\ v e. A ) -> ( v R u -> -. v e. ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) ) ) ) ) |
14 |
|
biid |
|- ( ( ( R _FrSe A /\ x e. A /\ u e. _trCl ( x , A , R ) ) /\ ( R _FrSe A /\ u e. A ) /\ ( v e. A /\ v R u ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ x e. A /\ u e. _trCl ( x , A , R ) ) /\ ( R _FrSe A /\ u e. A ) /\ ( v e. A /\ v R u ) ) ) |
15 |
|
biid |
|- ( ( ( R _FrSe A /\ x e. A /\ u e. _trCl ( x , A , R ) ) /\ ( R _FrSe A /\ u e. A ) /\ v e. A ) <-> ( ( R _FrSe A /\ x e. A /\ u e. _trCl ( x , A , R ) ) /\ ( R _FrSe A /\ u e. A ) /\ v e. A ) ) |
16 |
5 14 15
|
bnj1175 |
|- ( ( ( R _FrSe A /\ x e. A /\ u e. _trCl ( x , A , R ) ) /\ ( R _FrSe A /\ u e. A ) /\ v e. A ) -> ( v R u -> v e. _trCl ( x , A , R ) ) ) |
17 |
5 13 16
|
bnj1174 |
|- E. u A. v ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ u e. ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) ) /\ ( ( ( R _FrSe A /\ x e. A /\ u e. _trCl ( x , A , R ) ) /\ ( R _FrSe A /\ u e. A ) /\ v e. A ) -> ( v R u -> -. v e. B ) ) ) ) |
18 |
5 15 7 10
|
bnj1173 |
|- ( ( ph /\ ps /\ u e. ( _trCl ( x , A , R ) i^i B ) ) -> ( ( ( R _FrSe A /\ x e. A /\ u e. _trCl ( x , A , R ) ) /\ ( R _FrSe A /\ u e. A ) /\ v e. A ) <-> v e. A ) ) |
19 |
5 17 18
|
bnj1172 |
|- E. u A. v ( ( ph /\ ps ) -> ( u e. B /\ ( v e. A -> ( v R u -> -. v e. B ) ) ) ) |
20 |
4 19
|
bnj1171 |
|- E. u A. v ( ( ph /\ ps ) -> ( u e. B /\ ( v e. B -> -. v R u ) ) ) |
21 |
20
|
bnj1186 |
|- ( ( ph /\ ps ) -> E. u e. B A. v e. B -. v R u ) |
22 |
21
|
bnj1185 |
|- ( ( ph /\ ps ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) |
23 |
22
|
bnj1185 |
|- ( ( ph /\ ps ) -> E. w e. B A. z e. B -. z R w ) |