Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bnj1172.3 |
|- C = ( _trCl ( X , A , R ) i^i B ) |
2 |
|
bnj1172.96 |
|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) |
3 |
|
bnj1172.113 |
|- ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) -> ( th <-> w e. A ) ) |
4 |
3
|
imbi1d |
|- ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) -> ( ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) <-> ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) |
5 |
4
|
pm5.32i |
|- ( ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) |
6 |
5
|
imbi2i |
|- ( ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) |
7 |
6
|
albii |
|- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) <-> A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) |
8 |
7
|
exbii |
|- ( E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( th -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) <-> E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) |
9 |
2 8
|
mpbi |
|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) |
10 |
|
simp3 |
|- ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) -> z e. C ) |
11 |
10 1
|
eleqtrdi |
|- ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) -> z e. ( _trCl ( X , A , R ) i^i B ) ) |
12 |
11
|
elin2d |
|- ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) -> z e. B ) |
13 |
12
|
anim1i |
|- ( ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) -> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) |
14 |
13
|
imim2i |
|- ( ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) |
15 |
14
|
alimi |
|- ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ph /\ ps /\ z e. C ) /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) -> A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) ) |
16 |
9 15
|
bnj101 |
|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) |