Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bnj1366.1 |
|- ( ps <-> ( A e. _V /\ A. x e. A E! y ph /\ B = { y | E. x e. A ph } ) ) |
2 |
1
|
simp3bi |
|- ( ps -> B = { y | E. x e. A ph } ) |
3 |
1
|
simp2bi |
|- ( ps -> A. x e. A E! y ph ) |
4 |
|
nfcv |
|- F/_ y A |
5 |
|
nfeu1 |
|- F/ y E! y ph |
6 |
4 5
|
nfralw |
|- F/ y A. x e. A E! y ph |
7 |
|
nfra1 |
|- F/ x A. x e. A E! y ph |
8 |
|
rspa |
|- ( ( A. x e. A E! y ph /\ x e. A ) -> E! y ph ) |
9 |
|
iota1 |
|- ( E! y ph -> ( ph <-> ( iota y ph ) = y ) ) |
10 |
|
eqcom |
|- ( ( iota y ph ) = y <-> y = ( iota y ph ) ) |
11 |
9 10
|
bitrdi |
|- ( E! y ph -> ( ph <-> y = ( iota y ph ) ) ) |
12 |
8 11
|
syl |
|- ( ( A. x e. A E! y ph /\ x e. A ) -> ( ph <-> y = ( iota y ph ) ) ) |
13 |
7 12
|
rexbida |
|- ( A. x e. A E! y ph -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A y = ( iota y ph ) ) ) |
14 |
|
abid |
|- ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> E. x e. A ph ) |
15 |
|
eqid |
|- ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) = ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) |
16 |
|
iotaex |
|- ( iota y ph ) e. _V |
17 |
15 16
|
elrnmpti |
|- ( y e. ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) <-> E. x e. A y = ( iota y ph ) ) |
18 |
13 14 17
|
3bitr4g |
|- ( A. x e. A E! y ph -> ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> y e. ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) ) ) |
19 |
6 18
|
alrimi |
|- ( A. x e. A E! y ph -> A. y ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> y e. ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) ) ) |
20 |
3 19
|
syl |
|- ( ps -> A. y ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> y e. ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) ) ) |
21 |
|
nfab1 |
|- F/_ y { y | E. x e. A ph } |
22 |
|
nfiota1 |
|- F/_ y ( iota y ph ) |
23 |
4 22
|
nfmpt |
|- F/_ y ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) |
24 |
23
|
nfrn |
|- F/_ y ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) |
25 |
21 24
|
cleqf |
|- ( { y | E. x e. A ph } = ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) <-> A. y ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> y e. ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) ) ) |
26 |
20 25
|
sylibr |
|- ( ps -> { y | E. x e. A ph } = ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) ) |
27 |
2 26
|
eqtrd |
|- ( ps -> B = ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) ) |
28 |
1
|
simp1bi |
|- ( ps -> A e. _V ) |
29 |
|
mptexg |
|- ( A e. _V -> ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) e. _V ) |
30 |
|
rnexg |
|- ( ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) e. _V -> ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) e. _V ) |
31 |
28 29 30
|
3syl |
|- ( ps -> ran ( x e. A |-> ( iota y ph ) ) e. _V ) |
32 |
27 31
|
eqeltrd |
|- ( ps -> B e. _V ) |