Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cbvitgdavw2.1 |
|- ( ( ph /\ x = y ) -> C = D ) |
2 |
|
cbvitgdavw2.2 |
|- ( ( ph /\ x = y ) -> A = B ) |
3 |
1
|
fvoveq1d |
|- ( ( ph /\ x = y ) -> ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) = ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) ) |
4 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x = y ) -> x = y ) |
5 |
4 2
|
eleq12d |
|- ( ( ph /\ x = y ) -> ( x e. A <-> y e. B ) ) |
6 |
5
|
anbi1d |
|- ( ( ph /\ x = y ) -> ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) <-> ( y e. B /\ 0 <_ v ) ) ) |
7 |
6
|
ifbid |
|- ( ( ph /\ x = y ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) = if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) |
8 |
3 7
|
csbeq12dv |
|- ( ( ph /\ x = y ) -> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) = [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) |
9 |
8
|
cbvmptdavw |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) = ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) |
10 |
9
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) |
11 |
10
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) ) |
12 |
11
|
sumeq2sdv |
|- ( ph -> sum_ t e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) = sum_ t e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) ) |
13 |
|
df-itg |
|- S. A C _d x = sum_ t e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) |
14 |
|
df-itg |
|- S. B D _d y = sum_ t e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) |
15 |
12 13 14
|
3eqtr4g |
|- ( ph -> S. A C _d x = S. B D _d y ) |