Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme11.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme11.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme11.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme11.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme11.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme11.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
simp3rr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> U .<_ ( S .\/ T ) ) |
8 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> K e. HL ) |
9 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
10 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
11 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) |
12 |
1 2 3 4 5 6
|
lhpat2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> U e. A ) |
13 |
9 10 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> U e. A ) |
14 |
|
simp3rl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> T e. A ) |
15 |
|
simp3ll |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> S e. A ) |
16 |
|
simp2ll |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> P e. A ) |
17 |
|
simp2rl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> Q e. A ) |
18 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) |
19 |
1 2 3 4 5 6
|
cdleme0c |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> U =/= S ) |
20 |
9 16 17 18 19
|
syl121anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> U =/= S ) |
21 |
1 2 4
|
hlatexchb1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( U e. A /\ T e. A /\ S e. A ) /\ U =/= S ) -> ( U .<_ ( S .\/ T ) <-> ( S .\/ U ) = ( S .\/ T ) ) ) |
22 |
8 13 14 15 20 21
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( U .<_ ( S .\/ T ) <-> ( S .\/ U ) = ( S .\/ T ) ) ) |
23 |
7 22
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( S .\/ U ) = ( S .\/ T ) ) |