Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme11.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme11.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme11.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme11.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme11.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme11.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
simp1ll |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. HL ) |
8 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S e. A ) |
9 |
|
simp23 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> T e. A ) |
10 |
|
simp1l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
11 |
|
simp1r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
12 |
|
simp21 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> Q e. A ) |
13 |
|
simp31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> P =/= Q ) |
14 |
1 2 3 4 5 6
|
lhpat2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> U e. A ) |
15 |
10 11 12 13 14
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> U e. A ) |
16 |
|
simp32 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S =/= T ) |
17 |
|
simp33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. U .<_ ( S .\/ T ) ) |
18 |
|
eqid |
|- ( LPlanes ` K ) = ( LPlanes ` K ) |
19 |
1 2 4 18
|
lplni2 |
|- ( ( K e. HL /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. ( LPlanes ` K ) ) |
20 |
7 8 9 15 16 17 19
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. ( LPlanes ` K ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( ( S .\/ T ) .\/ U ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) |
22 |
2 4 18 21
|
lplnllnneN |
|- ( ( K e. HL /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. ( LPlanes ` K ) ) -> ( S .\/ U ) =/= ( T .\/ U ) ) |
23 |
7 8 9 15 20 22
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ T e. A ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( S .\/ U ) =/= ( T .\/ U ) ) |