Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme20f

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, last paragraph on p. 114, 4th line. D , F , Y , G represent s_2, f(s), t_2, f(t). We show and are axially perspective. (Contributed by NM, 17-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme19.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme19.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme19.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme19.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme19.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme19.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme19.f 
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme19.g 
|- G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
cdleme19.d 
|- D = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
cdleme19.y 
|- Y = ( ( R .\/ T ) ./\ W )
cdleme20.v 
|- V = ( ( S .\/ T ) ./\ W )
Assertion cdleme20f 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) .<_ ( ( ( D .\/ S ) ./\ ( Y .\/ T ) ) .\/ ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme19.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme19.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme19.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme19.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme19.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme19.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme19.f 
 |-  F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
8 cdleme19.g 
 |-  G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
9 cdleme19.d 
 |-  D = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
10 cdleme19.y 
 |-  Y = ( ( R .\/ T ) ./\ W )
11 cdleme20.v 
 |-  V = ( ( S .\/ T ) ./\ W )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme20e 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) .<_ ( S .\/ T ) )
13 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
14 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
16 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
17 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
18 simp31l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q )
19 simp32l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
20 1 2 3 4 5 6 7 cdleme3fa 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. A )
21 14 15 16 17 18 19 20 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. A )
22 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H )
23 simp21l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> S e. A )
24 simp21r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. S .<_ W )
25 simp23l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R e. A )
26 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
27 1 2 3 4 5 9 cdlemeda 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> D e. A )
28 13 22 23 24 25 26 19 27 syl223anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> D e. A )
29 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) )
30 simp32r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) )
31 1 2 3 4 5 6 8 cdleme3fa 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. A )
32 14 15 16 29 18 30 31 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. A )
33 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> T e. A )
34 simp22r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. T .<_ W )
35 1 2 3 4 5 10 cdlemeda 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Y e. A )
36 13 22 33 34 25 26 30 35 syl223anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Y e. A )
37 1 2 3 4 dalaw 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F e. A /\ D e. A /\ S e. A ) /\ ( G e. A /\ Y e. A /\ T e. A ) ) -> ( ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) .<_ ( S .\/ T ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) .<_ ( ( ( D .\/ S ) ./\ ( Y .\/ T ) ) .\/ ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) ) ) )
38 13 21 28 23 32 36 33 37 syl133anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) .<_ ( S .\/ T ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) .<_ ( ( ( D .\/ S ) ./\ ( Y .\/ T ) ) .\/ ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) ) ) )
39 12 38 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) .<_ ( ( ( D .\/ S ) ./\ ( Y .\/ T ) ) .\/ ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) ) )