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Theorem cdleme50ltrn

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. F is a lattice translation. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 10-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemef50.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemef50.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemef50.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemef50.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemef50.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemef50.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemef50.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdlemef50.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemefs50.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemef50.f 
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
cdleme50ltrn.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdleme50ltrn 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. T )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemef50.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemef50.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemef50.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemef50.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemef50.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemef50.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemef50.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdlemef50.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9 cdlemefs50.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdlemef50.f 
 |-  F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11 cdleme50ltrn.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
12 eqid 
 |-  ( ( LDil ` K ) ` W ) = ( ( LDil ` K ) ` W )
13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 cdleme50ldil 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
14 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) /\ ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
15 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) /\ ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) ) -> d e. A )
16 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) /\ ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) ) -> -. d .<_ W )
17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdleme50trn123 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. A /\ -. d .<_ W ) ) -> ( ( d .\/ ( F ` d ) ) ./\ W ) = U )
18 14 15 16 17 syl12anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) /\ ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) ) -> ( ( d .\/ ( F ` d ) ) ./\ W ) = U )
19 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) /\ ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) ) -> e e. A )
20 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) /\ ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) ) -> -. e .<_ W )
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdleme50trn123 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( e e. A /\ -. e .<_ W ) ) -> ( ( e .\/ ( F ` e ) ) ./\ W ) = U )
22 14 19 20 21 syl12anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) /\ ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) ) -> ( ( e .\/ ( F ` e ) ) ./\ W ) = U )
23 18 22 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) /\ ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) ) -> ( ( d .\/ ( F ` d ) ) ./\ W ) = ( ( e .\/ ( F ` e ) ) ./\ W ) )
24 23 3exp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( d e. A /\ e e. A ) -> ( ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) -> ( ( d .\/ ( F ` d ) ) ./\ W ) = ( ( e .\/ ( F ` e ) ) ./\ W ) ) ) )
25 24 ralrimivv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> A. d e. A A. e e. A ( ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) -> ( ( d .\/ ( F ` d ) ) ./\ W ) = ( ( e .\/ ( F ` e ) ) ./\ W ) ) )
26 2 3 4 5 6 12 11 isltrn 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> ( F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. d e. A A. e e. A ( ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) -> ( ( d .\/ ( F ` d ) ) ./\ W ) = ( ( e .\/ ( F ` e ) ) ./\ W ) ) ) ) )
27 26 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( F e. T <-> ( F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. d e. A A. e e. A ( ( -. d .<_ W /\ -. e .<_ W ) -> ( ( d .\/ ( F ` d ) ) ./\ W ) = ( ( e .\/ ( F ` e ) ) ./\ W ) ) ) ) )
28 13 25 27 mpbir2and 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. T )