Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemef50.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemef50.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemef50.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemef50.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemef50.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemef50.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemef50.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
8 |
|
cdlemef50.d |
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdlemefs50.e |
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
10 |
|
cdlemef50.f |
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) ) |
11 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
12 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
13 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
14 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P =/= Q ) |
15 |
2 3 5 6
|
cdlemb2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> E. e e. A ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
16 |
11 12 13 14 15
|
syl121anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> E. e e. A ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
17 |
|
simp1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) |
18 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) ) -> P =/= Q ) |
19 |
|
simp2r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) |
20 |
|
simp3rl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) ) -> e e. A ) |
21 |
|
simprrl |
|- ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. e .<_ W ) |
22 |
21
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) ) -> -. e .<_ W ) |
23 |
20 22
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) ) -> ( e e. A /\ -. e .<_ W ) ) |
24 |
|
simp3l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) ) |
25 |
|
simprrr |
|- ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) |
26 |
25
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) ) -> -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) |
27 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cdleme50trn2a |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( e e. A /\ -. e .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( R .\/ ( F ` R ) ) ./\ W ) = U ) |
28 |
17 18 19 23 24 26 27
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) ) -> ( ( R .\/ ( F ` R ) ) ./\ W ) = U ) |
29 |
28
|
3exp |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( R .\/ ( F ` R ) ) ./\ W ) = U ) ) ) |
30 |
29
|
exp4a |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( R .<_ ( P .\/ Q ) -> ( ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( R .\/ ( F ` R ) ) ./\ W ) = U ) ) ) ) |
31 |
30
|
3imp |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( e e. A /\ ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( R .\/ ( F ` R ) ) ./\ W ) = U ) ) |
32 |
31
|
expd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( e e. A -> ( ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( R .\/ ( F ` R ) ) ./\ W ) = U ) ) ) |
33 |
32
|
rexlimdv |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( E. e e. A ( -. e .<_ W /\ -. e .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( R .\/ ( F ` R ) ) ./\ W ) = U ) ) |
34 |
16 33
|
mpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( R .\/ ( F ` R ) ) ./\ W ) = U ) |