Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemb2.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemb2.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemb2.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
cdlemb2.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
5 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> K e. HL ) |
6 |
|
simp2ll |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> P e. A ) |
7 |
|
simp2rl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> Q e. A ) |
8 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> W e. H ) |
9 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
10 |
9 4
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
11 |
8 10
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
12 |
|
simp3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> P =/= Q ) |
13 |
|
eqid |
|- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K ) |
14 |
|
eqid |
|- ( |
15 |
13 14 4
|
lhp1cvr |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> W ( |
16 |
15
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> W ( |
17 |
|
simp2lr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> -. P .<_ W ) |
18 |
|
simp2rr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> -. Q .<_ W ) |
19 |
9 1 2 13 14 3
|
cdlemb |
|- ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( W e. ( Base ` K ) /\ P =/= Q ) /\ ( W ( E. r e. A ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
20 |
5 6 7 11 12 16 17 18 19
|
syl323anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> E. r e. A ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |