Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg4.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg4.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
3 |
|
cdlemg4.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
cdlemg4.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
5 |
|
cdlemg4.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
6 |
|
cdlemg4.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
7 |
|
cdlemg4b.v |
|- V = ( R ` G ) |
8 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
9 |
|
simp21 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
10 |
|
simp31 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> G e. T ) |
11 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdlemg4b1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ G e. T ) -> ( P .\/ V ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) ) |
12 |
8 9 10 11
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P .\/ V ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) ) |
13 |
12
|
breq2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( r .<_ ( P .\/ V ) <-> r .<_ ( P .\/ ( G ` P ) ) ) ) |
14 |
13
|
notbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( -. r .<_ ( P .\/ V ) <-> -. r .<_ ( P .\/ ( G ` P ) ) ) ) |
15 |
14
|
anbi2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) <-> ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ ( G ` P ) ) ) ) ) |
16 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdlemg6c |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) ) |
17 |
15 16
|
sylbird |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ ( G ` P ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) ) |