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Theorem cdlemg6c

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 27-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg4.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg4.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg4.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg4.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg4.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemg4.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg4b.v 
|- V = ( R ` G )
Assertion cdlemg6c 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg4.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg4.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
3 cdlemg4.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 cdlemg4.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 cdlemg4.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
6 cdlemg4.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
7 cdlemg4b.v 
 |-  V = ( R ` G )
8 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simprl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( r e. A /\ -. r .<_ W ) )
10 simpl22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
11 simpl23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> F e. T )
12 simpl31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> G e. T )
13 simprr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> -. r .<_ ( P .\/ V ) )
14 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> K e. HL )
15 simp22l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> Q e. A )
16 15 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> Q e. A )
17 simprll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> r e. A )
18 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
19 18 3 4 5 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
20 8 12 19 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
21 7 20 eqeltrid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> V e. ( Base ` K ) )
22 simp22r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. Q .<_ W )
23 22 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> -. Q .<_ W )
24 1 3 4 5 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) .<_ W )
25 8 12 24 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( R ` G ) .<_ W )
26 7 25 eqbrtrid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> V .<_ W )
27 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> K e. HL )
28 27 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> K e. Lat )
29 28 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> K e. Lat )
30 18 2 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
31 15 30 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
32 31 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
33 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> W e. H )
34 18 3 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
35 33 34 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
36 35 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
37 18 1 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( Q .<_ V /\ V .<_ W ) -> Q .<_ W ) )
38 29 32 21 36 37 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( ( Q .<_ V /\ V .<_ W ) -> Q .<_ W ) )
39 26 38 mpan2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( Q .<_ V -> Q .<_ W ) )
40 23 39 mtod 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> -. Q .<_ V )
41 18 1 6 2 hlexch2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( Q e. A /\ r e. A /\ V e. ( Base ` K ) ) /\ -. Q .<_ V ) -> ( Q .<_ ( r .\/ V ) -> r .<_ ( Q .\/ V ) ) )
42 14 16 17 21 40 41 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( Q .<_ ( r .\/ V ) -> r .<_ ( Q .\/ V ) ) )
43 simpl32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> Q .<_ ( P .\/ V ) )
44 simp21l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> P e. A )
45 44 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> P e. A )
46 18 2 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
47 45 46 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
48 18 1 6 latlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) ) -> V .<_ ( P .\/ V ) )
49 29 47 21 48 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> V .<_ ( P .\/ V ) )
50 18 6 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) ) -> ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
51 29 47 21 50 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
52 18 1 6 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( Q .<_ ( P .\/ V ) /\ V .<_ ( P .\/ V ) ) <-> ( Q .\/ V ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
53 29 32 21 51 52 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( ( Q .<_ ( P .\/ V ) /\ V .<_ ( P .\/ V ) ) <-> ( Q .\/ V ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
54 43 49 53 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( Q .\/ V ) .<_ ( P .\/ V ) )
55 18 2 atbase 
 |-  ( r e. A -> r e. ( Base ` K ) )
56 17 55 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> r e. ( Base ` K ) )
57 18 6 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Q e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) ) -> ( Q .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
58 29 32 21 57 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( Q .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
59 18 1 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( r e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ V ) e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( r .<_ ( Q .\/ V ) /\ ( Q .\/ V ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> r .<_ ( P .\/ V ) ) )
60 29 56 58 51 59 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( ( r .<_ ( Q .\/ V ) /\ ( Q .\/ V ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> r .<_ ( P .\/ V ) ) )
61 54 60 mpan2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( r .<_ ( Q .\/ V ) -> r .<_ ( P .\/ V ) ) )
62 42 61 syld 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( Q .<_ ( r .\/ V ) -> r .<_ ( P .\/ V ) ) )
63 13 62 mtod 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> -. Q .<_ ( r .\/ V ) )
64 simpl21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
65 simpl33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = P )
66 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg6a 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` r ) ) = r )
67 8 64 9 11 12 13 65 66 syl133anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( F ` ( G ` r ) ) = r )
68 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg6b 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( r .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` r ) ) = r ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )
69 8 9 10 11 12 63 67 68 syl133anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )
70 69 ex 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ -. r .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) )