Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemk55u

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 11, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 31-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk5.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk5.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk5.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk5.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk5.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk5.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk5.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk5.z 
|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
cdlemk5.y 
|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
cdlemk5.x 
|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
cdlemk5.u 
|- U = ( g e. T |-> if ( F = N , g , X ) )
Assertion cdlemk55u 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( G o. I ) ) = ( ( U ` G ) o. ( U ` I ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk5.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk5.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk5.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemk5.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemk5.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemk5.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemk5.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemk5.z 
 |-  Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10 cdlemk5.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11 cdlemk5.x 
 |-  X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12 cdlemk5.u 
 |-  U = ( g e. T |-> if ( F = N , g , X ) )
13 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F = N ) -> F = N )
14 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
16 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> I e. T )
17 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ I e. T ) -> ( G o. I ) e. T )
18 14 15 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. I ) e. T )
19 18 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F = N ) -> ( G o. I ) e. T )
20 11 12 cdlemk40t 
 |-  ( ( F = N /\ ( G o. I ) e. T ) -> ( U ` ( G o. I ) ) = ( G o. I ) )
21 13 19 20 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F = N ) -> ( U ` ( G o. I ) ) = ( G o. I ) )
22 simpl22 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F = N ) -> G e. T )
23 11 12 cdlemk40t 
 |-  ( ( F = N /\ G e. T ) -> ( U ` G ) = G )
24 13 22 23 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F = N ) -> ( U ` G ) = G )
25 simpl23 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F = N ) -> I e. T )
26 11 12 cdlemk40t 
 |-  ( ( F = N /\ I e. T ) -> ( U ` I ) = I )
27 13 25 26 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F = N ) -> ( U ` I ) = I )
28 24 27 coeq12d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F = N ) -> ( ( U ` G ) o. ( U ` I ) ) = ( G o. I ) )
29 21 28 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F = N ) -> ( U ` ( G o. I ) ) = ( ( U ` G ) o. ( U ` I ) ) )
30 simpl1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F =/= N ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) )
31 simpl21 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F =/= N ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
32 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F =/= N ) -> F =/= N )
33 31 32 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F =/= N ) -> ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ F =/= N ) )
34 simpl22 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F =/= N ) -> G e. T )
35 simpl23 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F =/= N ) -> I e. T )
36 simpl3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F =/= N ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cdlemk55u1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ F =/= N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( G o. I ) ) = ( ( U ` G ) o. ( U ` I ) ) )
38 30 33 34 35 36 37 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F =/= N ) -> ( U ` ( G o. I ) ) = ( ( U ` G ) o. ( U ` I ) ) )
39 29 38 pm2.61dane 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ G e. T /\ I e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( G o. I ) ) = ( ( U ` G ) o. ( U ` I ) ) )