Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cfcoflem |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) ) ) |
2 |
1
|
imp |
|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) ) |
3 |
|
cff1 |
|- ( A e. On -> E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) ) |
4 |
|
f1f |
|- ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A -> g : ( cf ` A ) --> A ) |
5 |
4
|
anim1i |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) ) |
6 |
5
|
eximi |
|- ( E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) ) |
7 |
3 6
|
syl |
|- ( A e. On -> E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) ) |
8 |
|
eqid |
|- ( y e. ( cf ` A ) |-> |^| { v e. B | ( g ` y ) C_ ( f ` v ) } ) = ( y e. ( cf ` A ) |-> |^| { v e. B | ( g ` y ) C_ ( f ` v ) } ) |
9 |
8
|
coftr |
|- ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) ) ) |
10 |
7 9
|
syl5com |
|- ( A e. On -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) ) ) |
11 |
|
eloni |
|- ( B e. On -> Ord B ) |
12 |
|
cfon |
|- ( cf ` A ) e. On |
13 |
|
eqid |
|- { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } = { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } |
14 |
|
eqid |
|- |^| { c e. ( cf ` A ) | r C_ ( h ` c ) } = |^| { c e. ( cf ` A ) | r C_ ( h ` c ) } |
15 |
|
eqid |
|- OrdIso ( _E , { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } ) = OrdIso ( _E , { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } ) |
16 |
13 14 15
|
cofsmo |
|- ( ( Ord B /\ ( cf ` A ) e. On ) -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) ) |
17 |
11 12 16
|
sylancl |
|- ( B e. On -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) ) |
18 |
12
|
onsuci |
|- suc ( cf ` A ) e. On |
19 |
18
|
oneli |
|- ( c e. suc ( cf ` A ) -> c e. On ) |
20 |
|
cfflb |
|- ( ( B e. On /\ c e. On ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) ) |
21 |
19 20
|
sylan2 |
|- ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) ) |
22 |
|
3simpb |
|- ( ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) |
23 |
22
|
eximi |
|- ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) |
24 |
21 23
|
impel |
|- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) |
25 |
|
onsssuc |
|- ( ( c e. On /\ ( cf ` A ) e. On ) -> ( c C_ ( cf ` A ) <-> c e. suc ( cf ` A ) ) ) |
26 |
19 12 25
|
sylancl |
|- ( c e. suc ( cf ` A ) -> ( c C_ ( cf ` A ) <-> c e. suc ( cf ` A ) ) ) |
27 |
26
|
ibir |
|- ( c e. suc ( cf ` A ) -> c C_ ( cf ` A ) ) |
28 |
27
|
ad2antlr |
|- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> c C_ ( cf ` A ) ) |
29 |
24 28
|
sstrd |
|- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) |
30 |
29
|
rexlimdva2 |
|- ( B e. On -> ( E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) ) |
31 |
17 30
|
syld |
|- ( B e. On -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) ) |
32 |
10 31
|
sylan9 |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) ) |
33 |
32
|
imp |
|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) |
34 |
2 33
|
eqssd |
|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) ) |
35 |
34
|
ex |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) ) ) |