Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
coftr.1 |
|- H = ( t e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` t ) C_ ( f ` n ) } ) |
2 |
|
fdm |
|- ( g : C --> A -> dom g = C ) |
3 |
|
vex |
|- g e. _V |
4 |
3
|
dmex |
|- dom g e. _V |
5 |
2 4
|
eqeltrrdi |
|- ( g : C --> A -> C e. _V ) |
6 |
|
fveq2 |
|- ( t = w -> ( g ` t ) = ( g ` w ) ) |
7 |
6
|
sseq1d |
|- ( t = w -> ( ( g ` t ) C_ ( f ` n ) <-> ( g ` w ) C_ ( f ` n ) ) ) |
8 |
7
|
rabbidv |
|- ( t = w -> { n e. B | ( g ` t ) C_ ( f ` n ) } = { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) |
9 |
8
|
inteqd |
|- ( t = w -> |^| { n e. B | ( g ` t ) C_ ( f ` n ) } = |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) |
10 |
9
|
cbvmptv |
|- ( t e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` t ) C_ ( f ` n ) } ) = ( w e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) |
11 |
1 10
|
eqtri |
|- H = ( w e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) |
12 |
|
mptexg |
|- ( C e. _V -> ( w e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) e. _V ) |
13 |
11 12
|
eqeltrid |
|- ( C e. _V -> H e. _V ) |
14 |
5 13
|
syl |
|- ( g : C --> A -> H e. _V ) |
15 |
14
|
ad2antrl |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> H e. _V ) |
16 |
|
ffn |
|- ( f : B --> A -> f Fn B ) |
17 |
|
smodm2 |
|- ( ( f Fn B /\ Smo f ) -> Ord B ) |
18 |
16 17
|
sylan |
|- ( ( f : B --> A /\ Smo f ) -> Ord B ) |
19 |
18
|
3adant3 |
|- ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> Ord B ) |
20 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> Ord B ) |
21 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) |
22 |
|
simprl |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> g : C --> A ) |
23 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> Ord B ) |
24 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) |
25 |
|
ffvelrn |
|- ( ( g : C --> A /\ w e. C ) -> ( g ` w ) e. A ) |
26 |
25
|
3ad2antl3 |
|- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> ( g ` w ) e. A ) |
27 |
|
sseq1 |
|- ( x = ( g ` w ) -> ( x C_ ( f ` y ) <-> ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) |
28 |
27
|
rexbidv |
|- ( x = ( g ` w ) -> ( E. y e. B x C_ ( f ` y ) <-> E. y e. B ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) |
29 |
28
|
rspccv |
|- ( A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) -> ( ( g ` w ) e. A -> E. y e. B ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) |
30 |
24 26 29
|
sylc |
|- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> E. y e. B ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) |
31 |
|
ssrab2 |
|- { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ B |
32 |
|
ordsson |
|- ( Ord B -> B C_ On ) |
33 |
31 32
|
sstrid |
|- ( Ord B -> { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ On ) |
34 |
|
fveq2 |
|- ( n = y -> ( f ` n ) = ( f ` y ) ) |
35 |
34
|
sseq2d |
|- ( n = y -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` n ) <-> ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) |
36 |
35
|
rspcev |
|- ( ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) -> E. n e. B ( g ` w ) C_ ( f ` n ) ) |
37 |
|
rabn0 |
|- ( { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } =/= (/) <-> E. n e. B ( g ` w ) C_ ( f ` n ) ) |
38 |
36 37
|
sylibr |
|- ( ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) -> { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } =/= (/) ) |
39 |
|
oninton |
|- ( ( { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ On /\ { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } =/= (/) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. On ) |
40 |
33 38 39
|
syl2an |
|- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. On ) |
41 |
|
eloni |
|- ( |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. On -> Ord |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) |
42 |
40 41
|
syl |
|- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> Ord |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) |
43 |
|
simpl |
|- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> Ord B ) |
44 |
35
|
intminss |
|- ( ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ y ) |
45 |
44
|
adantl |
|- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ y ) |
46 |
|
simprl |
|- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> y e. B ) |
47 |
|
ordtr2 |
|- ( ( Ord |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } /\ Ord B ) -> ( ( |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ y /\ y e. B ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) ) |
48 |
47
|
imp |
|- ( ( ( Ord |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } /\ Ord B ) /\ ( |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ y /\ y e. B ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) |
49 |
42 43 45 46 48
|
syl22anc |
|- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) |
50 |
49
|
rexlimdvaa |
|- ( Ord B -> ( E. y e. B ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) ) |
51 |
23 30 50
|
sylc |
|- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) |
52 |
51 11
|
fmptd |
|- ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) -> H : C --> B ) |
53 |
20 21 22 52
|
syl3anc |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> H : C --> B ) |
54 |
|
simprr |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) |
55 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> f : B --> A ) |
56 |
|
ffvelrn |
|- ( ( f : B --> A /\ s e. B ) -> ( f ` s ) e. A ) |
57 |
|
sseq1 |
|- ( z = ( f ` s ) -> ( z C_ ( g ` w ) <-> ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) ) |
58 |
57
|
rexbidv |
|- ( z = ( f ` s ) -> ( E. w e. C z C_ ( g ` w ) <-> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) ) |
59 |
58
|
rspccv |
|- ( A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) -> ( ( f ` s ) e. A -> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) ) |
60 |
56 59
|
syl5 |
|- ( A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) -> ( ( f : B --> A /\ s e. B ) -> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) ) |
61 |
60
|
expdimp |
|- ( ( A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) /\ f : B --> A ) -> ( s e. B -> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) ) |
62 |
54 55 61
|
syl2anc |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> ( s e. B -> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) ) |
63 |
55 16
|
syl |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> f Fn B ) |
64 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> Smo f ) |
65 |
|
simpr |
|- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> w e. C ) |
66 |
65 51
|
jca |
|- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> ( w e. C /\ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) ) |
67 |
35
|
elrab |
|- ( y e. { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } <-> ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) |
68 |
|
sstr2 |
|- ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> ( f ` s ) C_ ( f ` y ) ) ) |
69 |
|
smoword |
|- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ ( s e. B /\ y e. B ) ) -> ( s C_ y <-> ( f ` s ) C_ ( f ` y ) ) ) |
70 |
69
|
biimprd |
|- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ ( s e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` s ) C_ ( f ` y ) -> s C_ y ) ) |
71 |
68 70
|
syl9r |
|- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ ( s e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> s C_ y ) ) ) |
72 |
71
|
expr |
|- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) -> ( y e. B -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> s C_ y ) ) ) ) |
73 |
72
|
com23 |
|- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( y e. B -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> s C_ y ) ) ) ) |
74 |
73
|
imp4b |
|- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> ( ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) -> s C_ y ) ) |
75 |
67 74
|
syl5bi |
|- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> ( y e. { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } -> s C_ y ) ) |
76 |
75
|
ralrimiv |
|- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> A. y e. { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } s C_ y ) |
77 |
|
ssint |
|- ( s C_ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } <-> A. y e. { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } s C_ y ) |
78 |
76 77
|
sylibr |
|- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> s C_ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) |
79 |
9 1
|
fvmptg |
|- ( ( w e. C /\ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) -> ( H ` w ) = |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) |
80 |
79
|
sseq2d |
|- ( ( w e. C /\ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) -> ( s C_ ( H ` w ) <-> s C_ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) ) |
81 |
78 80
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> ( ( w e. C /\ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) -> s C_ ( H ` w ) ) ) |
82 |
66 81
|
syl5 |
|- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> s C_ ( H ` w ) ) ) |
83 |
82
|
ex |
|- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> s C_ ( H ` w ) ) ) ) |
84 |
83
|
com23 |
|- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) -> ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> s C_ ( H ` w ) ) ) ) |
85 |
84
|
expdimp |
|- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) ) -> ( w e. C -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> s C_ ( H ` w ) ) ) ) |
86 |
85
|
reximdvai |
|- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) ) -> ( E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) |
87 |
86
|
ancoms |
|- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) ) -> ( E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) |
88 |
87
|
expr |
|- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ ( f Fn B /\ Smo f ) ) -> ( s e. B -> ( E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) ) |
89 |
20 21 22 63 64 88
|
syl32anc |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> ( s e. B -> ( E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) ) |
90 |
62 89
|
mpdd |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> ( s e. B -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) |
91 |
90
|
ralrimiv |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) |
92 |
|
feq1 |
|- ( h = H -> ( h : C --> B <-> H : C --> B ) ) |
93 |
|
fveq1 |
|- ( h = H -> ( h ` w ) = ( H ` w ) ) |
94 |
93
|
sseq2d |
|- ( h = H -> ( s C_ ( h ` w ) <-> s C_ ( H ` w ) ) ) |
95 |
94
|
rexbidv |
|- ( h = H -> ( E. w e. C s C_ ( h ` w ) <-> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) |
96 |
95
|
ralbidv |
|- ( h = H -> ( A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) <-> A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) |
97 |
92 96
|
anbi12d |
|- ( h = H -> ( ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) <-> ( H : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) ) |
98 |
97
|
spcegv |
|- ( H e. _V -> ( ( H : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) ) |
99 |
98
|
3impib |
|- ( ( H e. _V /\ H : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) |
100 |
15 53 91 99
|
syl3anc |
|- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) |
101 |
100
|
ex |
|- ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) ) |
102 |
101
|
exlimdv |
|- ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( E. g ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) ) |
103 |
102
|
exlimiv |
|- ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( E. g ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) ) |