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Theorem cflem

Description: A lemma used to simplify cofinality computations, showing the existence of the cardinal of an unbounded subset of a set A . (Contributed by NM, 24-Apr-2004)

Ref Expression
Assertion cflem
|- ( A e. V -> E. x E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ssid
 |-  A C_ A
2 ssid
 |-  z C_ z
3 sseq2
 |-  ( w = z -> ( z C_ w <-> z C_ z ) )
4 3 rspcev
 |-  ( ( z e. A /\ z C_ z ) -> E. w e. A z C_ w )
5 2 4 mpan2
 |-  ( z e. A -> E. w e. A z C_ w )
6 5 rgen
 |-  A. z e. A E. w e. A z C_ w
7 sseq1
 |-  ( y = A -> ( y C_ A <-> A C_ A ) )
8 rexeq
 |-  ( y = A -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. A z C_ w ) )
9 8 ralbidv
 |-  ( y = A -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. A E. w e. A z C_ w ) )
10 7 9 anbi12d
 |-  ( y = A -> ( ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) <-> ( A C_ A /\ A. z e. A E. w e. A z C_ w ) ) )
11 10 spcegv
 |-  ( A e. V -> ( ( A C_ A /\ A. z e. A E. w e. A z C_ w ) -> E. y ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
12 1 6 11 mp2ani
 |-  ( A e. V -> E. y ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) )
13 fvex
 |-  ( card ` y ) e. _V
14 13 isseti
 |-  E. x x = ( card ` y )
15 19.41v
 |-  ( E. x ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( E. x x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
16 14 15 mpbiran
 |-  ( E. x ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) )
17 16 exbii
 |-  ( E. y E. x ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) )
18 excom
 |-  ( E. y E. x ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. x E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
19 17 18 bitr3i
 |-  ( E. y ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) <-> E. x E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
20 12 19 sylib
 |-  ( A e. V -> E. x E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )