Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ssid |
|- A C_ A |
2 |
|
ssid |
|- z C_ z |
3 |
|
sseq2 |
|- ( w = z -> ( z C_ w <-> z C_ z ) ) |
4 |
3
|
rspcev |
|- ( ( z e. A /\ z C_ z ) -> E. w e. A z C_ w ) |
5 |
2 4
|
mpan2 |
|- ( z e. A -> E. w e. A z C_ w ) |
6 |
5
|
rgen |
|- A. z e. A E. w e. A z C_ w |
7 |
|
sseq1 |
|- ( y = A -> ( y C_ A <-> A C_ A ) ) |
8 |
|
rexeq |
|- ( y = A -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. A z C_ w ) ) |
9 |
8
|
ralbidv |
|- ( y = A -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. A E. w e. A z C_ w ) ) |
10 |
7 9
|
anbi12d |
|- ( y = A -> ( ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) <-> ( A C_ A /\ A. z e. A E. w e. A z C_ w ) ) ) |
11 |
10
|
spcegv |
|- ( A e. V -> ( ( A C_ A /\ A. z e. A E. w e. A z C_ w ) -> E. y ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
12 |
1 6 11
|
mp2ani |
|- ( A e. V -> E. y ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) |
13 |
|
fvex |
|- ( card ` y ) e. _V |
14 |
13
|
isseti |
|- E. x x = ( card ` y ) |
15 |
|
19.41v |
|- ( E. x ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( E. x x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
16 |
14 15
|
mpbiran |
|- ( E. x ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) |
17 |
16
|
exbii |
|- ( E. y E. x ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) |
18 |
|
excom |
|- ( E. y E. x ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. x E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
19 |
17 18
|
bitr3i |
|- ( E. y ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) <-> E. x E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
20 |
12 19
|
sylib |
|- ( A e. V -> E. x E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) |