Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isclwwlknx.v |
|- V = ( Vtx ` G ) |
2 |
|
isclwwlknx.e |
|- E = ( Edg ` G ) |
3 |
1
|
clwwlknbp |
|- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) ) |
4 |
|
simpr |
|- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) ) -> ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) ) |
5 |
|
clwwlknnn |
|- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> N e. NN ) |
6 |
1 2
|
isclwwlknx |
|- ( N e. NN -> ( W e. ( N ClWWalksN G ) <-> ( ( W e. Word V /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) /\ ( # ` W ) = N ) ) ) |
7 |
|
3simpc |
|- ( ( W e. Word V /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ( W e. Word V /\ A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) /\ ( # ` W ) = N ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) |
9 |
6 8
|
syl6bi |
|- ( N e. NN -> ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) ) |
10 |
5 9
|
mpcom |
|- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) |
12 |
|
oveq1 |
|- ( ( # ` W ) = N -> ( ( # ` W ) - 1 ) = ( N - 1 ) ) |
13 |
12
|
oveq2d |
|- ( ( # ` W ) = N -> ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) ) |
14 |
13
|
raleqdv |
|- ( ( # ` W ) = N -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E <-> A. i e. ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E ) ) |
15 |
14
|
anbi1d |
|- ( ( # ` W ) = N -> ( ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) <-> ( A. i e. ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) ) |
16 |
15
|
ad2antll |
|- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) ) -> ( ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) <-> ( A. i e. ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) ) |
17 |
11 16
|
mpbid |
|- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) |
18 |
4 17
|
jca |
|- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) ) -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) ) |
19 |
3 18
|
mpdan |
|- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) ) |
20 |
|
3anass |
|- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) <-> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) ) |
21 |
19 20
|
sylibr |
|- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = N ) /\ A. i e. ( 0 ..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) |