Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cnflf |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) ) |
2 |
|
ffun |
|- ( F : X --> Y -> Fun F ) |
3 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
4 |
3
|
flimelbas |
|- ( x e. ( J fLim f ) -> x e. U. J ) |
5 |
4
|
ssriv |
|- ( J fLim f ) C_ U. J |
6 |
|
fdm |
|- ( F : X --> Y -> dom F = X ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> dom F = X ) |
8 |
|
toponuni |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> X = U. J ) |
9 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> X = U. J ) |
10 |
7 9
|
eqtrd |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> dom F = U. J ) |
11 |
5 10
|
sseqtrrid |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( J fLim f ) C_ dom F ) |
12 |
|
funimass4 |
|- ( ( Fun F /\ ( J fLim f ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( J fLim f ) ) C_ ( ( K fLimf f ) ` F ) <-> A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) |
13 |
2 11 12
|
syl2an2 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( F " ( J fLim f ) ) C_ ( ( K fLimf f ) ` F ) <-> A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) |
14 |
13
|
ralbidv |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F " ( J fLim f ) ) C_ ( ( K fLimf f ) ` F ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) |
15 |
14
|
pm5.32da |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F " ( J fLim f ) ) C_ ( ( K fLimf f ) ` F ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) ) |
16 |
1 15
|
bitr4d |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F " ( J fLim f ) ) C_ ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) ) |