Theorem csbexg

Description: The existence of proper substitution into a class. (Contributed by NM, 10-Nov-2005) (Revised by NM, 17-Aug-2018)

	Ref	Expression
Assertion	csbexg	|- ( A. x B e. W -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb	|- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		abid2	|- { y | y e. B } = B
3		elex	|- ( B e. W -> B e. _V )
4	2 3	eqeltrid	|- ( B e. W -> { y | y e. B } e. _V )
5	4	alimi	|- ( A. x B e. W -> A. x { y | y e. B } e. _V )
6		spsbc	|- ( A e. _V -> ( A. x { y | y e. B } e. _V -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
7	5 6	syl5	|- ( A e. _V -> ( A. x B e. W -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
8		nfcv	|- F/_ x _V
9	8	sbcabel	|- ( A e. _V -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
10	7 9	sylibd	|- ( A e. _V -> ( A. x B e. W -> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
11	10	imp	|- ( ( A e. _V /\ A. x B e. W ) -> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V )
12	1 11	eqeltrid	|- ( ( A e. _V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )
13		csbprc	|- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )
14		0ex	|- (/) e. _V
15	13 14	eqeltrdi	|- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B e. _V )
16	15	adantr	|- ( ( -. A e. _V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )
17	12 16	pm2.61ian	|- ( A. x B e. W -> [_ A / x ]_ B e. _V )