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Theorem dfhe3

Description: The property of relation R being hereditary in class A . (Contributed by RP, 27-Mar-2020)

Ref Expression
Assertion dfhe3 
|- ( R hereditary A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-he 
 |-  ( R hereditary A <-> ( R " A ) C_ A )
2 19.21v 
 |-  ( A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )
3 2 bicomi 
 |-  ( ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
4 3 albii 
 |-  ( A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. x A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
5 alcom 
 |-  ( A. x A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
6 impexp 
 |-  ( ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
7 6 bicomi 
 |-  ( ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
8 7 albii 
 |-  ( A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. x ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
9 19.23v 
 |-  ( A. x ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
10 8 9 bitri 
 |-  ( A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
11 10 albii 
 |-  ( A. y A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
12 4 5 11 3bitri 
 |-  ( A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
13 df-ss 
 |-  ( { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A <-> A. y ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) )
14 vex 
 |-  y e. _V
15 opeq2 
 |-  ( z = y -> <. x , z >. = <. x , y >. )
16 15 eleq1d 
 |-  ( z = y -> ( <. x , z >. e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
17 df-br 
 |-  ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
18 16 17 bitr4di 
 |-  ( z = y -> ( <. x , z >. e. R <-> x R y ) )
19 18 anbi2d 
 |-  ( z = y -> ( ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) <-> ( x e. A /\ x R y ) ) )
20 19 exbidv 
 |-  ( z = y -> ( E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) <-> E. x ( x e. A /\ x R y ) ) )
21 14 20 elab 
 |-  ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } <-> E. x ( x e. A /\ x R y ) )
22 21 imbi1i 
 |-  ( ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
23 22 albii 
 |-  ( A. y ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
24 13 23 bitr2i 
 |-  ( A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A )
25 dfima3 
 |-  ( R " A ) = { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) }
26 25 eqcomi 
 |-  { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } = ( R " A )
27 26 sseq1i 
 |-  ( { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A <-> ( R " A ) C_ A )
28 24 27 bitri 
 |-  ( A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( R " A ) C_ A )
29 12 28 bitr2i 
 |-  ( ( R " A ) C_ A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )
30 1 29 bitri 
 |-  ( R hereditary A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )