Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
icodisj |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A [,) B ) i^i ( B [,) C ) ) = (/) ) |
2 |
|
undif4 |
|- ( ( ( A [,) B ) i^i ( B [,) C ) ) = (/) -> ( ( A [,) B ) u. ( ( B [,) C ) \ ( B [,) C ) ) ) = ( ( ( A [,) B ) u. ( B [,) C ) ) \ ( B [,) C ) ) ) |
3 |
1 2
|
syl |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A [,) B ) u. ( ( B [,) C ) \ ( B [,) C ) ) ) = ( ( ( A [,) B ) u. ( B [,) C ) ) \ ( B [,) C ) ) ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B <_ C ) ) -> ( ( A [,) B ) u. ( ( B [,) C ) \ ( B [,) C ) ) ) = ( ( ( A [,) B ) u. ( B [,) C ) ) \ ( B [,) C ) ) ) |
5 |
|
difid |
|- ( ( B [,) C ) \ ( B [,) C ) ) = (/) |
6 |
5
|
uneq2i |
|- ( ( A [,) B ) u. ( ( B [,) C ) \ ( B [,) C ) ) ) = ( ( A [,) B ) u. (/) ) |
7 |
|
un0 |
|- ( ( A [,) B ) u. (/) ) = ( A [,) B ) |
8 |
6 7
|
eqtri |
|- ( ( A [,) B ) u. ( ( B [,) C ) \ ( B [,) C ) ) ) = ( A [,) B ) |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B <_ C ) ) -> ( ( A [,) B ) u. ( ( B [,) C ) \ ( B [,) C ) ) ) = ( A [,) B ) ) |
10 |
|
icoun |
|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B <_ C ) ) -> ( ( A [,) B ) u. ( B [,) C ) ) = ( A [,) C ) ) |
11 |
10
|
difeq1d |
|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B <_ C ) ) -> ( ( ( A [,) B ) u. ( B [,) C ) ) \ ( B [,) C ) ) = ( ( A [,) C ) \ ( B [,) C ) ) ) |
12 |
4 9 11
|
3eqtr3rd |
|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B <_ C ) ) -> ( ( A [,) C ) \ ( B [,) C ) ) = ( A [,) B ) ) |