Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
icodisj |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ∅ ) |
2 |
|
undif4 |
⊢ ( ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ∅ → ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) |
4 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) |
5 |
|
difid |
⊢ ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ∅ |
6 |
5
|
uneq2i |
⊢ ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) = ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ∅ ) |
7 |
|
un0 |
⊢ ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ∅ ) = ( 𝐴 [,) 𝐵 ) |
8 |
6 7
|
eqtri |
⊢ ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) = ( 𝐴 [,) 𝐵 ) |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) = ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
10 |
|
icoun |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) |
11 |
10
|
difeq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) ) |
12 |
4 9 11
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ∖ ( 𝐵 [,) 𝐶 ) ) = ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |